c.齒根段的修形
給定齒根修形角φf和徑向最大修形量△lf，選擇移距增量函數(shù)：
同樣可以證明，齒根修形曲線與中段修形曲線也是光滑連接的。
4.3.4修形對(duì)工作推桿數(shù)的影響
顯然，未經(jīng)修形的齒廓曲線在齒頂鄰域和齒根鄰域嚙合的壓力角都很小，因而分段修形后應(yīng)將頂、根部大致削去相同的區(qū)段。即φa、φf仰的分配應(yīng)根據(jù)各自所對(duì)應(yīng)的頂根段曲線弧長(zhǎng)相等的原則來(lái)進(jìn)行。一般可近似取φa為φf的2到4倍，而取△la=△lf=esinφa。
[計(jì)算實(shí)例]：
對(duì)于TW-3-16推桿減速器，要求內(nèi)齒圈齒廓經(jīng)修形后同時(shí)工作的推桿數(shù)ng不少于5，按上述方法確定的修形量為：
φa+φf=4.5°
取φa=2φf，則φa=3°，φf=1.5°，△la=0.36mm選擇△TZ=0.19mm，將齒廓分段修形后，機(jī)器性能得到了明顯改善。
4.4內(nèi)齒圈齒廓的公法線測(cè)量及加工精度控制
目前在推桿減速器的大批量生產(chǎn)中，對(duì)內(nèi)齒圈齒廓的加工所采用的還都是范成加工方法，其測(cè)量手段長(zhǎng)期以來(lái)一直沒(méi)能得到很好的解決。一些生產(chǎn)廠家主要是利用測(cè)量齒根至齒圈外圓的厚度及齒頂至齒圈外圓的厚度來(lái)確定被加工齒廓的合格與否。這種方法并沒(méi)有能夠完全反應(yīng)出內(nèi)齒圈齒廓在加工過(guò)程中所產(chǎn)生的誤差，它僅斃反應(yīng)出偏心距的誤差。公法線測(cè)量法是以預(yù)先計(jì)算出的公法線理論長(zhǎng)度為依據(jù)，根據(jù)測(cè)量的結(jié)果，能夠判斷出加工過(guò)程中影響內(nèi)齒圈齒廓加工精度的各個(gè)控制參數(shù)所產(chǎn)生的誤差，從而對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使之達(dá)到要求的精度。
4.4.1公法線的長(zhǎng)度計(jì)算
如圖4.9 所示，AB是其中一個(gè)齒槽的一側(cè)齒廓，A′B′是跨槽數(shù)為K（圖中k=4)的一個(gè)齒梢的另一側(cè)齒廓，它們是兩個(gè)性質(zhì)不同的齒廓。若把AB看成是工作齒廓，則A′B′是非工作齒廓。選擇圖4.9所示的坐標(biāo)系，讓坐標(biāo)原點(diǎn)O與內(nèi)齒圈幾何中心重合，y軸與OA重合。設(shè)P（x，y）為AB齒廓上的一點(diǎn)，在P點(diǎn)與內(nèi)齒圈齒廓相接觸的外滾子的位置角為φ2，在A′B′上取P點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′，使∠A′OO2=φ2，P′點(diǎn)與P點(diǎn)是關(guān)于∠AOA′的平分線完全對(duì)稱的，即0P′=OP，a2=a2′，OO1=OO2，圖4.9中PO1與P′O2相交在Q點(diǎn)，它們并不共線，因此P′點(diǎn)與P點(diǎn)不具有共同的法線。假設(shè)隨著P點(diǎn)位置的改變（當(dāng)然P′點(diǎn)也隨著P的改變而改變），使PO1與P′O2在同一條直線上，此時(shí)P′與P就有共同的法線，此時(shí)：
上式就是齒廓AB上與跨槽數(shù)為k的齒廓具有公法線的點(diǎn)的條件。當(dāng)k確定后，若存在公法線，則由（4.17）式并結(jié)合基本關(guān)系式（2.38）等可解出φ2的值來(lái)。
從圖4.9可求得公法線長(zhǎng)度為：
Wk=2（l1+l）cosa2+2rz （4.18）
式中l(wèi)1、a2與φ2的關(guān)系由基本關(guān)系式所確定。顯然，兩個(gè)齒槽的同側(cè)齒廓（同為工作齒廓或非工作齒廓）是不存在公法線的。
4.4.2公法線的數(shù)目
由于內(nèi)齒圈齒廓曲線具有周期性且工作齒廓與非工作齒廓是完全對(duì)稱的，所以只需討論一個(gè)齒槽的一側(cè)齒廓與其它齒槽的另一側(cè)齒廓所具有的公法線。
令：
內(nèi)齒圈的齒數(shù)ZN可以是奇數(shù)，也可以是偶數(shù)（實(shí)際產(chǎn)品都是奇數(shù)）。為了討論問(wèn)題的方便，引用截?cái)嗳≌?hào)“INT”，當(dāng)ZN為偶數(shù)時(shí)，
，當(dāng)ZN為奇數(shù)時(shí)，
，由函數(shù)式（4.19）可得：
下面就來(lái)講議化跨槽數(shù)k取不同數(shù)值時(shí)，具有的公法線情況：
[算例]
對(duì)于前面提到的3TWY7.5-12推桿減速器，齒數(shù)ZN=11，計(jì)算得到k0=4，即當(dāng)跨槽數(shù)k小于等于4時(shí)，兩齒郭不具有公法線。當(dāng)跨槽數(shù)k=5時(shí)，計(jì)算得到兩條公法線，理論長(zhǎng)度分別為：
凸齒公法線 W51=209.632mm，對(duì)應(yīng)于φ2=1.755°
凹齒公法線 W52=215.716mm，對(duì)應(yīng)于φ2=12.485°
當(dāng)跨槽數(shù)k=6時(shí)，計(jì)算得出只有一條凹齒公法線
W63=230.146mm，對(duì)應(yīng)于φ2=15.205°
合起來(lái)，此推桿減速器的內(nèi)齒圈齒廓共有三條不同長(zhǎng)度的公法線，它們的位置如圖4.10所示。
4.4.3刀具軸線有偏距時(shí)的內(nèi)齒廓及公法線
用圓柱形刀具加工內(nèi)齒圈齒廓時(shí)，刀具軸線應(yīng)在齒圈的半徑方向作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，如果它不沿著齒圈半徑方向運(yùn)動(dòng)，那就有了偏距。在圖4.11中，若刀具中心的運(yùn)動(dòng)方向平行于y軸，而刀具中心在O2處，那就有了偏距E，現(xiàn)在來(lái)分析此時(shí)加工出來(lái)的齒廓及公法線長(zhǎng)度。
同圖4.11可得：
利用第二章中推導(dǎo)內(nèi)外滾子工作角關(guān)系的方法可得a2與a1的關(guān)系為：
經(jīng)過(guò)分析可知，當(dāng)存在偏距E時(shí)，在跨槽數(shù)為k的兩齒廓上具有公法線的點(diǎn)的條件仍然可用式（4.17）表示，公法線長(zhǎng)度為：
若令（4.30）式和（4.31）式中的E=0，得到的就是無(wú)偏距時(shí)的內(nèi)齒圈齒廓理論方程式（2.21）及公法線長(zhǎng)度（4.18）式。
4.4.4利用公法線誤差分析加工調(diào)整參數(shù)誤差
由齒廓方程式（4.30）可以知道，齒廓形狀取決于偏心軸的偏心距e，偏心軸幾何中心到固定點(diǎn)長(zhǎng)度R，刀具半徑Tz，進(jìn)刀深度l以及刀具軸線偏距E。e和R是夾具結(jié)構(gòu)上的固定尺寸，應(yīng)該調(diào)整得盡量正確，而其誤差加△e、△R也是個(gè)定值。而△Tz是由于刀具制造誤差及加工過(guò)程中的磨損引起，△l及△E是由于操作誤差引起。因此，△Tz、△l及△E是導(dǎo)致齒形誤差的工藝因素。下面來(lái)分析它們對(duì)公法線長(zhǎng)度的影響。
把公法線長(zhǎng)度Wk看成是自變量為TZ、l及E的函數(shù)，即Wk=Wk（Tz，l，E），由（4.31）式可得：
假設(shè)用下標(biāo)i表示公法線序號(hào)，用△Wki表示第i條公法線實(shí)際測(cè)量出的值與理論計(jì)算出的值的誤差，則可得到公法線長(zhǎng)度誤差方程為：
上式中A-1是矩陣A的逆陣，稱誤差矩陣。當(dāng)算得相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)值后，如果測(cè)得一個(gè)齒槽的一側(cè)齒廓與其它齒廓的三條公法線的誤差，代入方程組（4.32）之后，便可求得相應(yīng)的△Tz、△l和△E。△Tz是經(jīng)計(jì)算得到的刀具半徑的誤差，△l是進(jìn)刀深度誤差，△E是刀具軸線偏心距的誤差，根據(jù)計(jì)算結(jié)果適當(dāng)調(diào)整這些參數(shù)就能迅速地提高齒廓精度，使之達(dá)到精度要求。
［計(jì)算實(shí)例]
前面所說(shuō)的3TWT7.5-12推桿減速器，根據(jù)參數(shù)可計(jì)算得到其誤差矩陣A-1為：
在一個(gè)內(nèi)齒圈齒廓上實(shí)際測(cè)得三條公法線的長(zhǎng)度與理論長(zhǎng)度的誤差為：
△W51=0.02261mm
△W52=0.03806mm
△W63=0.02106mm
代入式（4.32）可得：
△TZ=0.0202mm，△l=0.032mm，△E=0.1697mm
根據(jù)計(jì)算結(jié)果適當(dāng)調(diào)整這些參數(shù)就能迅速提高齒廓精度，使之達(dá)到精度要求。
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