2.4圓柱正弦活齒傳動(dòng)受力分析
2.4.1活齒受力分析
正弦滾道是由活齒沿一定的空間正弦曲線運(yùn)動(dòng)包格而成，所以圓柱正弦活齒傳動(dòng)屬于空間嚙合傳動(dòng)。在圓柱正弦活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)工作過程中，幾乎所有的活齒都參與接觸與傳力，由于正弦滾道具有周期性，每個(gè)活齒與正弦滾道間共軛齒廓的工作過程又完全相同，所以在受力分析時(shí)，可以任選一個(gè)活齒嚙合副作為對(duì)象進(jìn)行研究。
不計(jì)活齒的重力及各構(gòu)件間的摩擦力，則各構(gòu)件對(duì)活齒的作用力都通過活去的球心并沿活齒齒面的法線方向，圖2-10為各作用力的空間位置關(guān)系�；铨X的局部坐杯系為（o；x,y,z)，坐標(biāo)原點(diǎn)0為活齒的球心，x軸為活齒傳動(dòng)的徑向方向，y軸為活齒傳動(dòng)的周向方向，z軸為活齒傳動(dòng)的軸向方向。設(shè)主動(dòng)軸的外正弦滾道對(duì)活齒的作用力為F1，接觸角為αn1；殼體內(nèi)正弦滾道對(duì)活齒的作用力為F3，接觸角為αn3；導(dǎo)架的活齒槽對(duì)活齒的作用力為F2；ui(i=1,3）為各嚙合副間瞬時(shí)接觸線的方向角。
顯然F1、F2、F3組成一空間匯交力系，假設(shè)活齒在每個(gè)工作瞬時(shí)處于衡狀態(tài)，根據(jù)圖2-10中各作用力的空間位置關(guān)系，可列方程如下：
由式（2-23）可以看出，未知數(shù)包括F1、F2、F3、αn1、αn3共有5個(gè)，而方程個(gè)數(shù)只有3個(gè)，屬于力學(xué)中靜不定的問題，需要尋找變形協(xié)調(diào)條件來補(bǔ)足方程的個(gè)數(shù)。
為便于研究，找出其變形協(xié)調(diào)關(guān)系，做出如下假設(shè)：
（1）不計(jì)嚙合點(diǎn)處的摩擦力與活齒自轉(zhuǎn)；
（2）除嚙合點(diǎn)處彈性變形外，其他各件的變形忽略不計(jì)，且變形服從胡克定律；
（3）各傳動(dòng)件軸向位移不計(jì)，加工誤差忽略不計(jì)。
各活齒與主動(dòng)軸之間的作用力F1i可分解為徑向力F1xi，和徑向法截面方向的力F1yzi，假定主動(dòng)軸瞬時(shí)不動(dòng)，給活齒施加一個(gè)順時(shí)針方向的力矩T1（T1為輸入力矩），在該力矩的作用下，各活齒與主動(dòng)軸接觸處產(chǎn)生接觸變形，使活齒中心轉(zhuǎn)過一個(gè)角度△φ，則所有活齒中心相應(yīng)的發(fā)生一個(gè)相同的微小周向位移加，根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，假設(shè)△s在F1yzi方向的投影大小與F1yzi成正比，即F1yzi∝△scos（u1i），則有下列等式成立：
式中 F1yzi=F1isin（αn1）； u1max=actan（R1/（AZ1））；
R1——主動(dòng)軸空間正弦曲線徑向半徑（mm）；
A——空間正弦曲線的幅值（mm）
整理式（2-24）得到：
為求得F1yzmax，對(duì)主動(dòng)軸列扭矩平衡方程，則有
式中 T1——輸入扭矩（N·mm）；
n——活齒個(gè)數(shù)。
將式（2-25）代入式（2-26）中得到：
現(xiàn)利用平均值法求
，求解過程如下：
另外，根據(jù)圓柱正弦活齒傳動(dòng)中一個(gè)活齒嚙合副的幾何關(guān)系，可列如下方程：
（r′-r）（cos（αn1）-cos（αn3））=R1-R3 （2-29）
式中 r′——正弦滾道半徑（mm），通常r′=（1.04～1.11）r；
r——活齒半徑（mm）；
R3——?dú)んw正弦曲線徑向半徑（mm）。
將式（2-23）、（2-25）及（2-29）聯(lián)立，則方程的個(gè)數(shù)為5個(gè)，與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同，故可解。
2.4.2其他構(gòu)件的受力分析
活齒對(duì)主動(dòng)軸外正弦滾道作用力的圓周力分量Ft1、軸向力分量Fa1、徑向力分量Fr1的大小分別為
活齒對(duì)殼體內(nèi)正弦滾道作用力的圓周力分量Ft3、軸向力分量Fa3、徑向力分量Fr3的大小分別為
2.4.3圓柱正弦活齒傳動(dòng)受力分析計(jì)算實(shí)例
已知一圓柱正弦活齒減速器，其設(shè)計(jì)參數(shù)為A=4.5mm，r=5mm，r1=5.4mm，R=23.5mm，Z1=1，Z3=4，T=20Nm，t=5。根據(jù)本文建立的活齒受力分析模型，采用牛頓法求解式（2-23）、（2-25）及（2-29）聯(lián)立的方程組，應(yīng)用Matlab編程計(jì)算，得到在一個(gè)工作周期內(nèi)活齒的受力情況，計(jì)算結(jié)果如圖2-11、2-12所示。同時(shí)可計(jì)算出所有活齒作用在主動(dòng)軸上軸向合圖，其結(jié)果如圖2-13所示。
由圖2-11分析可知，在空間正弦軌跡曲線的拐點(diǎn)附近活齒受力最大，且作用在活齒上的三個(gè)力F1、F2、F3中，F(xiàn)3值最大，也就是說，在進(jìn)行接觸強(qiáng)度計(jì)算的時(shí)候，應(yīng)以活齒與殼體間的接觸情況為主要依據(jù)。接觸角αni(i=1,3）的求解為圓柱正弦活齒傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了必要的條件，它成為正弦滾過深度bi,(i=1,3）的主要度量依據(jù)。由圖2-13可以看出圓柱正弦活齒傳動(dòng)主動(dòng)軸上的軸向合力幾乎為零，且該傳動(dòng)輸入軸的旋轉(zhuǎn)中心與其幾何中心重合，屬于自平衡結(jié)構(gòu)，避免了慣性力的產(chǎn)生。因此只需采用單激波器的結(jié)構(gòu)型式即可使慣性力和作用力達(dá)到平衡，縮短了傳動(dòng)的運(yùn)動(dòng)鏈，減少了動(dòng)力損耗，提高了傳動(dòng)系統(tǒng)的效率和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。
2.5主曲率計(jì)算分析
在進(jìn)行圓柱正弦活齒傳動(dòng)接觸強(qiáng)度分析時(shí)，需要利用正弦滾道齒面的主曲盆和主曲率半徑，為此需對(duì)正弦滾道齒面的主曲率和主曲率半徑進(jìn)行分析計(jì)算。根據(jù)微分幾何理論，除在曲面上的奇異點(diǎn)之外，法曲率隨著所選取的方向下同而變化，而在一個(gè)非奇異的固定點(diǎn)，沿不同方向的法曲率之中有其最大值和最小值，而這最大值法曲率和最小值法曲率及分別稱為曲面在該點(diǎn)的兩個(gè)主曲率，當(dāng)主曲率不為零時(shí)，主曲率的倒數(shù)稱為主曲率半徑；對(duì)應(yīng)主曲率的方向稱為主方向，并且兩個(gè)主方向互相垂直。
由于正弦滾道齒面是球狀活齒沿空間正弦曲線軌跡運(yùn)動(dòng)包絡(luò)而成，顯見在理想情況下瞬時(shí)接觸線的方向即為正弦滾道齒面的一個(gè)主方向，其對(duì)應(yīng)的主曲k21=-1/r′，則另一個(gè)主方向應(yīng)在瞬時(shí)接觸線的法向方向，為得到正弦滾道鑿面在該方向上的主曲率k22，需計(jì)算出正弦齒面在接觸點(diǎn)處的全曲率K,由微分幾何中對(duì)全曲率定義有：
A——正弦幅值（mm）；
Z——正弦滾道周期數(shù)；
R——活齒中心圓周方向旋轉(zhuǎn)半徑（mm）；
u——瞬時(shí)接觸線的方向角（rad）；
v——接觸角（rad）；
φ——活齒在正弦滾道齒面坐標(biāo)系中的位置角（rad）。
根據(jù)式（2-32），應(yīng)用Matlab編程計(jì)算得到滾道齒面與活齒接觸點(diǎn)處的主曲率與全曲率的變化曲線如圖2-14、圖2-15。從圖中可見，主動(dòng)軸正弦滾道齒面在接觸點(diǎn)處的全曲率恒為負(fù)值，根據(jù)微分幾何中的定義，則該接觸點(diǎn)為雙曲點(diǎn)，而殼體正弦滾道齒面在接觸點(diǎn)處的全碘率恒為正值，則該接觸點(diǎn)為隨圓點(diǎn)。從數(shù)值上看，曲率的變化范圍大，傳動(dòng)比較平穩(wěn)。
2.6活齒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析
在圓柱正弦活齒傳動(dòng)的一個(gè)活齒嚙合副中，活齒與殼體及主動(dòng)軸的滾道分別在A、B點(diǎn)接觸，如圖2-16所示，接觸角近似取αn1=αn3=π/4，活齒在接觸點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)速度方向即為接觸點(diǎn)軌跡曲線LA及LB的切線方向，根據(jù)式（2-19），可知活齒與殼體接觸點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線LA的方程：
式中 R——活齒中心圓周方向旋轉(zhuǎn)半徑（mm）；
r——活齒半徑（mm）。
由式（2-33）可求得軌跡曲線LA的切線方程，為便于計(jì)算，將其轉(zhuǎn)換到活齒坐標(biāo)系中，該方程的方向數(shù)為：
在理想情況下，活齒的中心O沿空間正弦曲線運(yùn)動(dòng)，其軌跡曲線LO方程為：
同理，由式（2-35）可以求得活齒中心的運(yùn)動(dòng)速度方向，轉(zhuǎn)換到活齒坐標(biāo)系后，其方向數(shù)為：
根據(jù)空間解析幾何中兩空間直線夾角的公式，由式（2-34）、（2-36）可求出兩軌跡曲線LA、LO切線的夾角αAO，通過計(jì)算證明αAO小于10°，忽略αAO引起的活齒相對(duì)殼體滾道齒面的滑移運(yùn)動(dòng)。同理可以求得兩軌跡曲線LB、LO切線的夾角αBO，計(jì)算證明αBO較大，故不可忽略由αBO引起的活齒相對(duì)于主動(dòng)軸滾道齒面的滑移運(yùn)動(dòng)。若將活齒中心O看作活齒運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)中心，則活齒在與殼體齒面接觸點(diǎn)A的速度方向即為活齒在該點(diǎn)繞其自身軸線旋轉(zhuǎn)的速度方向，活齒自轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)軸線應(yīng)在垂直與該速度方向的平面上，也就是在殼體正弦滾道的法截面上。設(shè)旋轉(zhuǎn)軸，即活齒自轉(zhuǎn)角速度的方向矢量為：
接觸點(diǎn)的位置方向幺矢為：
則矢量
應(yīng)平行于活齒中心的速度方向矢量{0，-tan（u3），1}，據(jù)此條件，可以得到α=αn3-π/2。則旋轉(zhuǎn)軸的方向矢量為：
2.7滑動(dòng)率
活齒傳動(dòng)在傳遞運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力的過程中，共扼齒廓高副兩元素間，由于接觸點(diǎn)的切線速度不同而產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)，齒形的磨損規(guī)律，在一定程度上取決于共軛齒廓在各接觸點(diǎn)上相對(duì)滑動(dòng)速度的變化律，滑動(dòng)率U表明兩共扼齒廓間有害滑動(dòng)作用的特性。圓柱正弦活齒傳動(dòng)中相對(duì)速度為空間矢量，故本文中滑動(dòng)率定義為兩共軛齒廓瞬時(shí)接觸線法線方向的相對(duì)滑動(dòng)速度的變化律。一般情況下，活齒在滾道中的運(yùn)動(dòng)是比較復(fù)雜的，可作滾動(dòng)、滑動(dòng)、或又滑又滾，由對(duì)活齒運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析可知，圓柱正弦活齒傳動(dòng)中，齒面磨損相對(duì)嚴(yán)重的是活齒與主動(dòng)軸這對(duì)共軛齒廓，活齒沿殼體齒面可作純滾動(dòng)或又滾又滑運(yùn)動(dòng)，而當(dāng)活齒沿殼體齒面作純滾動(dòng)時(shí)，主動(dòng)軸與活齒之間磨損最為嚴(yán)重，考慮此時(shí)主動(dòng)軸與活齒之間的滑動(dòng)率，即可以定性的分析圓柱正弦活齒傳動(dòng)共扼齒廓間的磨損情況。
根據(jù)本文對(duì)滑動(dòng)率的定義，滑動(dòng)率的公式可寫為：
U=v10t/v1t （2-38）
式中v10t——主動(dòng)軸與活齒接觸點(diǎn)處沿接觸線法線方向的相對(duì)滑動(dòng)速度（m/s)；
v1t——主動(dòng)軸在接觸點(diǎn)處沿接觸線法線方向的相對(duì)滑動(dòng)速度（m/s）。
當(dāng)活齒沿殼體齒廓作純滾動(dòng)時(shí)，活齒繞自身軸線旋轉(zhuǎn)的角速度為：
式中 ω1——主動(dòng)軸旋轉(zhuǎn)的角速度（rad/s）。
為便于計(jì)算，先假設(shè)導(dǎo)架固定不動(dòng)，求得主動(dòng)軸與活齒的在接觸點(diǎn)處的相對(duì)速度矢量。活齒在與主動(dòng)軸接觸點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)速度為公轉(zhuǎn)速度與自轉(zhuǎn)速度兩部分能合成速度，其中公轉(zhuǎn)速度為活齒中心沿空間正弦軌跡曲線運(yùn)動(dòng)的速度：
則主動(dòng)軸與活齒的在接觸點(diǎn)處的相對(duì)速度為：
在固定坐標(biāo)系中，主動(dòng)軸接觸點(diǎn)處的速度為：
將相對(duì)速度矢量
及主動(dòng)軸接觸點(diǎn)處的速度
投影到瞬時(shí)接觸線的法線方向得到v10t和，v1t，將二者代入式（2-38)，計(jì)算出滑動(dòng)率。由于正弦滾道形狀具有周期性，因此共軛齒面間的滑動(dòng)率也呈現(xiàn)周期性變化，考慮齒形參數(shù)——活齒半徑r、活齒中心回轉(zhuǎn)半徑R、正弦幅值A(chǔ)及殼體滾道正弦周期數(shù)Z對(duì)滑動(dòng)率的影響，若給定其中任意三個(gè)參數(shù)，改變另一個(gè)參數(shù)，可以得到在一個(gè)工作周期內(nèi)滑動(dòng)率隨齒形參數(shù)的變化規(guī)律曲線如圖2-17所示。
由此可見，圓柱弦活齒傳動(dòng)的滑動(dòng)率是嚙合點(diǎn)位置的函數(shù)，而且在一個(gè)工作周期滑動(dòng)率變化不大。當(dāng)活齒運(yùn)動(dòng)到正弦滾道的拐點(diǎn)處時(shí)，共軛齒面的滑動(dòng)率最大；當(dāng)運(yùn)動(dòng)到正弦滾道的波峰及谷處時(shí)，共軛齒面間的滑動(dòng)率最小。由圖2-17定性分析可知，參數(shù)r、R、A及Z對(duì)滑動(dòng)率都有影響，其中殼體滾道正弦周期數(shù)Z的變化對(duì)滑動(dòng)率的影響最大。進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，當(dāng)機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)比一定，在滿足強(qiáng)度要求及其它設(shè)計(jì)要求的前提下，應(yīng)適當(dāng)減小鋼球半徑、增大活齒中心回轉(zhuǎn)半徑、減小正弦幅值，以達(dá)到降低滑動(dòng)率，減小共軛齒廓間磨損的目的。
2.8本章小結(jié)
1.闡述了圓柱正弦活齒傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)組成和傳動(dòng)原理，推導(dǎo)出傳動(dòng)比計(jì)算公式及活齒傳動(dòng)的正確連續(xù)傳動(dòng)條件。建立空間正弦滾道齒面的齒廓方程，并仿真出齒廓曲面；
2.在單個(gè)活齒受力分析的基礎(chǔ)上，根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，建立了圓柱正弦活齒傳動(dòng)的受力分析模型，據(jù)此可以計(jì)算出各構(gòu)件作用在活齒上的接觸力的數(shù)值角，并建立了該傳動(dòng)其他構(gòu)件的受力計(jì)算公式，為圓柱正弦活齒傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)和強(qiáng)度分析提供了依據(jù)。由此也驗(yàn)證了圓柱正弦活齒傳動(dòng)是一具有自平衡能力的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)；
3.計(jì)算出正弦滾道齒面在與活齒齒面接觸點(diǎn)處的全曲率和主曲率，分析了在一個(gè)正弦周期中曲率的變化規(guī)律，為圓柱正弦活齒傳動(dòng)的接觸強(qiáng)度計(jì)算奠定了基礎(chǔ)；
4.根據(jù)活齒傳動(dòng)嚙合副的相對(duì)運(yùn)動(dòng)對(duì)活齒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行了分析；推導(dǎo)出共軛齒廓間的滑動(dòng)計(jì)算公式，并考慮各齒形參數(shù)變化對(duì)滑動(dòng)率的影響，對(duì)圓柱正弦活齒傳動(dòng)共軛齒廓間的磨損情況作了定性分析。
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