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第4章有限元法分析的理論基礎(chǔ)
4.1 有限元基本概念
有限元分析（FEA, Finite Element Analysis）的基本概念是用較簡(jiǎn)單的問(wèn)題代替復(fù)雜問(wèn)題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對(duì)每一單元假定一個(gè)合適的（較簡(jiǎn)單的）近似解，然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件（如結(jié)構(gòu)的平衡條件），從而得到問(wèn)題的解。這個(gè)解不是準(zhǔn)確解，而是近似解，因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題被較簡(jiǎn)單的問(wèn)題所代替了。由于大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題難以得到準(zhǔn)確解，用有限元法不僅能提高計(jì)算精度，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。
有限元是那些集合在一起能夠表示實(shí)際連續(xù)域的離散單元。有限元的雛形早在幾個(gè)世紀(jì)前就己經(jīng)形成，但作為種方法而被提出，則是最近幾十年的事，例如用多邊形（有限個(gè)直線單元）逼近圓來(lái)求得圓的周長(zhǎng)。有限元法最初被稱為矩陣近似方法，應(yīng)用于航空器的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度計(jì)算，并由于其方便性、實(shí)用性和有效性而引起從事力學(xué)研究的科學(xué)家的濃厚興趣。經(jīng)過(guò)短短數(shù)十年的努力，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展和普及，有限元方法迅速?gòu)慕Y(jié)構(gòu)工程強(qiáng)度分析計(jì)算擴(kuò)展到幾乎所有的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，成為一種豐富多彩、應(yīng)用廣泛并且實(shí)用高效的數(shù)值分析方法。
有限元方法與其他求解邊值問(wèn)題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限于相對(duì)小的子域中。20 世紀(jì)60 年代初首次提出結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地將其描繪為：有限元法=雷利-里茨（Rayleigh-Ritz）法+分片函數(shù)，即有限元法是Rayleigh-Ritz法的一種局部化情況。不同于求解（往往是困難的）滿足整個(gè)定義域邊界條件的允許函數(shù)的Rayleigh-Ritz法，有限元法將函數(shù)定義在簡(jiǎn)單幾何形狀（如二維問(wèn)題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)），形狀（如二維問(wèn)題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)），且不考慮整個(gè)定義域的復(fù)雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。
對(duì)于不同物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題，有限元求解法的基本步驟是相同的，只是具體公式推導(dǎo)和運(yùn)算求解不同。有限元求解問(wèn)題的基本步驟通常為：
第一步：?jiǎn)栴}及求解域定義根據(jù)實(shí)際問(wèn)題近似確定求解域的物理性質(zhì)和幾何區(qū)域；
第二步：求解域離散化，將求解域近似為具有不同有限大小和形狀彼此相連的有限個(gè)單元組成的離散域，習(xí)慣上稱為有限元網(wǎng)格劃分。顯然單元越�。ňW(wǎng)格越細(xì)）則離散域的近似程度越好，計(jì)算結(jié)果也越精確，但計(jì)算量將增大，因此求解域的離散化是有限元法的核心技術(shù)之一。
第三步：確定狀態(tài)變量及控制方法，一個(gè)具體的物理問(wèn)題通�？梢杂靡唤M包含問(wèn)題狀態(tài)變量邊界條件的微分方程式表示，為適合有限元求解，通常將微分方程化為等價(jià)的泛函形式。
第四步：?jiǎn)卧茖?dǎo)，對(duì)單元構(gòu)造一個(gè)適合的近似解，即推導(dǎo)有限單元的格式，其中包括選擇合理的單元坐標(biāo)系，建立單元函數(shù)，以某種方法給出單元各狀態(tài)變量的離散關(guān)系，從而形成單元矩陣〔結(jié)構(gòu)力學(xué)中稱剛度陣或柔度陣〕。
為保證問(wèn)題求解的收斂性，單元推導(dǎo)有許多原則要遵循。對(duì)工程應(yīng)用而言，重要的是應(yīng)注意每一種單元的解題性能與約束。例如單元形狀應(yīng)以規(guī)則為好，即單元的邊長(zhǎng)不要相差太大，內(nèi)角避免出現(xiàn)鈍角，避免出現(xiàn)畸形，因?yàn)榛螘r(shí)不僅精度低，而且有缺秩的危險(xiǎn)，將導(dǎo)致無(wú)法求解。
第五步：總裝求解，將單元總裝形成離散域的總矩陣方程（聯(lián)合方程組），反映對(duì)近似求解域的離散域的要求，即單元函數(shù)的連續(xù)性要滿足一定的連續(xù)條件�？傃b是在相鄰單元節(jié)點(diǎn)進(jìn)行，狀態(tài)變量及其導(dǎo)數(shù)（可能的話）連續(xù)性建立在節(jié)點(diǎn)處。
第六步：聯(lián)立方程組求解和結(jié)果解釋，有限元法最終導(dǎo)致聯(lián)立方程組。聯(lián)立方程組的求解可用直接法、迭代法和隨機(jī)法。求解結(jié)果是單元節(jié)點(diǎn)處狀態(tài)變量的近似值。對(duì)于計(jì)算結(jié)果的質(zhì)量，將通過(guò)與設(shè)計(jì)準(zhǔn)則提供的允許值比較來(lái)評(píng)價(jià)并確定是否需要重復(fù)計(jì)算。
簡(jiǎn)言之，有限元分析可分成三個(gè)階段，前處理、處理和后處理。前處理是建立有限元模型，完成單元網(wǎng)格劃分；后處理則是采集處理分析結(jié)果，使用戶能簡(jiǎn)便提取信息，了解計(jì)算結(jié)果。
4.2 非線性有限元法
非線性有限元法雖然以各類非線性問(wèn)題作為研究對(duì)象，但它脫胎于線性有限元，而且在非線性方程求解時(shí)，是將其逐段線性化加以求解。
工業(yè)的進(jìn)步使工程結(jié)構(gòu)越來(lái)越復(fù)雜，材料品種越來(lái)越多，工程結(jié)構(gòu)的工作環(huán)境越來(lái)越惡劣，對(duì)工程結(jié)構(gòu)的效率要求越來(lái)越高，因而對(duì)結(jié)構(gòu)分析提出了更高的要求。在很多重要的實(shí)際問(wèn)題中，線彈性力學(xué)中的基本方程己不能滿足需要，應(yīng)變和位移的關(guān)系可能是非線性的，應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系也可能是非線性的，變形前和變形后的平衡方程也會(huì)發(fā)生變化，這就需要考慮非線性因素。
非線性問(wèn)題可分為材料非線性、幾何非線性及邊界非線性問(wèn)題。
材料非線性是指材料的本構(gòu)關(guān)系是非線性的�？煞譃閮深悾活愂遣灰蕾囉跁r(shí)間的彈塑性問(wèn)題，當(dāng)載荷作用以后，材料變形立即發(fā)生，并且不再隨時(shí)間變化。另一類是依賴于時(shí)間的粘（彈、塑性）性問(wèn)題，比較復(fù)雜。彈塑性材料的基本特性是：當(dāng)載荷卸去以后存在不可恢復(fù)的永久變形，因而在涉及卸載的情況下，應(yīng)力應(yīng)變之間不再存在著唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
幾何非線性是指物體在大變形和大應(yīng)變情況下，位移與應(yīng)變的關(guān)系不能用線性關(guān)系以及小應(yīng)變假設(shè)進(jìn)行正確的描述，必須考慮變形對(duì)平衡的影響或采用大應(yīng)變理論，這時(shí)平衡方程和幾何關(guān)系都是非線性的。
邊界非線性是指由于邊界條件的性質(zhì)隨物體的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化所引起的非線性響應(yīng)，最典型的例子就是接觸問(wèn)題。
4.2.1 屈服準(zhǔn)則
金屬材料在變形的過(guò)程中，總是由彈性狀態(tài)過(guò)渡到塑性狀態(tài)。在物體內(nèi)一點(diǎn)出現(xiàn)塑性變形時(shí)應(yīng)當(dāng)滿足的條件，稱為屈服準(zhǔn)則或稱塑性條件。歷史上曾出現(xiàn)過(guò)各種不同的關(guān)于屈服的假設(shè)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，能夠應(yīng)用于工程實(shí)際的主要有：屈雷斯卡（Tresca）屈服準(zhǔn)則，又稱最大剪應(yīng)力塑性條件：馮· 米賽斯（Von· Mises）屈服準(zhǔn)則，又稱能量塑性條件。
(1)屈雷斯卡（Tresca ）準(zhǔn)則
屈雷斯卡做了一系列的擠壓實(shí)驗(yàn)來(lái)研究屈服條件，他認(rèn)為；當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值時(shí)，材料即進(jìn)入塑性狀態(tài)。這個(gè)條件可以寫成
當(dāng)σ1＞σ2＞σ3時(shí)
或在一般情況下為
式中σ1、σ2、σ3—互相正交的三個(gè)主應(yīng)力N
k—由材料本身所具有的性質(zhì)所確定的常數(shù)
當(dāng)上述三個(gè)關(guān)系式處于不等式的情況下，材料處于彈性狀態(tài)，如三個(gè)關(guān)系式中的任何一個(gè)處于等式的情況下，材料即處于塑性狀態(tài)。這個(gè)準(zhǔn)則稱為屈雷斯卡塑性條件。
在材料力學(xué)中對(duì)于塑性材料常用最大剪應(yīng)力屈服條件作為強(qiáng)度理論來(lái)使用，通常稱為第三強(qiáng)度理論。
(2）馮·米賽斯（Von·Mises）屈服準(zhǔn)則
屈雷斯片屈服條件不考慮中間應(yīng)力的影響，另外當(dāng)應(yīng)力處在兩個(gè)屈服面的交線上時(shí)，處理時(shí)要遇到一些數(shù)學(xué)上的困難，在主應(yīng)力方向不知時(shí)，屈服條件又很復(fù)雜，因此米賽斯在1913年研究了實(shí)驗(yàn)結(jié)果后，提出了另一種屈服條件。馮·米賽斯準(zhǔn)則認(rèn)為，對(duì)于各項(xiàng)同性材料，應(yīng)力偏量第二不變量等于某一定值時(shí)材料屈服。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由六個(gè)分量確定，即以應(yīng)力分量或應(yīng)變分量為坐標(biāo)的空間，空間中每點(diǎn)代表一個(gè)應(yīng)力或應(yīng)變狀態(tài)，將處于屈服應(yīng)力狀態(tài)下的點(diǎn)連成面即為屈服面，可用應(yīng)力分量表示
K為與材料相關(guān)的屈服極限。應(yīng)力偏量第二不變量J2達(dá)到下式條件時(shí)材料屈服
式中σS—材料單軸試驗(yàn)屈服應(yīng)力N
把一個(gè)多維應(yīng)力狀態(tài)用單軸應(yīng)力等效起來(lái)，則：
式中σ1,σ2,σ3是三個(gè)主應(yīng)力。上式的幾何意義是以σ1=σ2=σ3為軸線的圓柱面。在過(guò)原點(diǎn)O 并且垂直于σ1=σ2=σ3的π平面上，屈服函數(shù)的軌跡是半徑為σS的一個(gè)圓周，而在σ3=0的平面上，屈服函數(shù)的軌跡是一個(gè)橢圓，它的長(zhǎng)半軸 ,短半軸是
米塞思屈服條件從物理意義上可以解釋為：材料的形狀改變彈性比能達(dá)到某一極限值時(shí)，材料開(kāi)始屈服；或者解釋為：當(dāng)材料八面體上的剪應(yīng)力達(dá)到某極限值時(shí)材料開(kāi)始屈服。在材料力學(xué)中，用米賽斯屈服條件作為強(qiáng)度理論使用時(shí)，通常稱為第四強(qiáng)度理論。
4.2.2 非線性有限元方程的解法
按照解的數(shù)學(xué)依據(jù)進(jìn)行分類，非線性有限元方程的解法主要有最小化法、迭代法和增量法等。
(1)最小化法
在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，求解一個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡問(wèn)題，通常等于求解結(jié)構(gòu)總位能∏的駐值問(wèn)題。
式中U(q)為結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，而 為外載所做功：上式的求解方法之一就是直接數(shù)值搜索，即通過(guò)數(shù)學(xué)規(guī)劃中無(wú)約束最小化方法。
它的缺陷是：一、往往收斂于局部最小而不是全局最��；二、效率非常低。
(2)迭代法
使用虛功原理使式（4-7）總位能變分為零，得
由此可以從第i次的迭代求得i+1次的未知變量{qi-1}
 的力學(xué)意義為：第i次迭代后的不平衡力，當(dāng)它等于零時(shí)， 是精確的，當(dāng)它不等于零時(shí)必須迭代求解以逼近精確值。Wi為超松弛因子，用以加速收斂。當(dāng)式中[Ki]是割線方陣時(shí)，稱為割線剛度陣，其嚴(yán)重缺陷是收斂性差。如果采用切線剛
度陣[Ki]T時(shí)就得到牛頓-拉斐遜（Newton-Raphson）迭代法。
牛頓-拉斐遜迭代法的基本思想是：
在t+△t時(shí)刻，非線性求解的基本方程為
由于節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間為非線性關(guān)系，故必須對(duì)上式進(jìn)行迭代求解，步驟如下
上述方程是根據(jù)有限元系統(tǒng)的響應(yīng)線性化得到的，每一次迭代都是用式（4-11）算小平衡的載荷向量，由這些載荷向量從式（4-10）中導(dǎo)出位移向量，然后繼續(xù)迭代直至不平衡線荷同量{ΔR}（i-1）或位移向量qi足夠小為止。
對(duì)切線剛度陣不同的選擇方案決定了不同的迭代方法。完全牛頓-拉斐遜法( FullNewton-Raphson)（簡(jiǎn)稱F.N.R）在每一次迭代前都要重新形成[Ki-1]T，并解方程(4-12)。為了節(jié)約機(jī)時(shí)，盡量減少形成[Ki-1]T以及對(duì)其進(jìn)行三角分解的次數(shù)，修正的牛頓-拉斐遜法（ModifiedNewton-Raphson)（簡(jiǎn)稱M.N.R）沿用了i=1時(shí)的切線剛度陣[K0]T,這樣僅形成一次切線剛度陣并進(jìn)行三角化分解而后的迭代只是線性方程組的回代過(guò)程。實(shí)際應(yīng)用修正的牛頓-拉斐遜法時(shí)可人為的規(guī)定只要進(jìn)行了一定次數(shù)的迭代，就重新形成和分解一次剛度矩陣，以改善[Ki-1]T性質(zhì).
M.X.R法在收斂性方面比F.N.R法差，對(duì)于逐漸硬化和突然硬化這兩種變形硬化的結(jié)構(gòu)，隨著載荷的增加，典型位移的增加速度變慢，結(jié)構(gòu)變得更加剛硬，這時(shí)用M.N.R法往往會(huì)導(dǎo)致發(fā)散，即迭代難以收斂。從效率上來(lái)說(shuō)，對(duì)于一個(gè)軟化或輕微硬化結(jié)構(gòu)，達(dá)到同一加載步的收斂解的迭代次數(shù)，F(xiàn).N.R法比M.N.R法少，故總的計(jì)算時(shí)間F.N.R不一定比M．N．R方法多，尤其在非線性程度較高的情況下更是如此。
擬牛頓-拉斐遜法（Quiasi Newton Raphson)（簡(jiǎn)稱QXR）提供了一個(gè)介于M.N.R法和F.N.R法之間的折衷辦法，在每次迭代中既不重新形成和分解剛度矩陣，又不沿用舊的剛度矩陣，而是用一定的方法對(duì)舊的剛度矩陣加以修正并計(jì)算新的位移。擬牛頓法給出了第（i+1）次到第i次矩陣的割線逼近，又稱割線牛頓法，而量有效的方法BFGS法（Broyden Fletcher Gotdfard Shanno）,它結(jié)俁了無(wú)約束最小化方法給出了最后公式。而字最大的缺點(diǎn)是要占用較多的計(jì)算機(jī)空間。
比較上述三種方法（F.N.R法，M.N.R法和BFGS法），一般來(lái)說(shuō)，在計(jì)算效率上最高的為修正牛頓-拉斐遜法，其次為BFGS法，再次為全牛頓-拉斐遜法；在收斂性力方面情況正好相反，最好的為全牛頓-拉斐遜法，其次為BFGS法，再次為修正，牛頓-拉斐遜法。在結(jié)構(gòu)的分析過(guò)程中，當(dāng)非線性程度不高時(shí)（一般為加載初期）用修正牛頓-拉斐遜法，當(dāng)非線性程度較高時(shí)（一般為加載后期）使用BFGS法或全牛頓-拉斐遜法。
為了取得較好的收斂解，在用ANSYS進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的過(guò)程中，選用全牛頓-拉斐遜法。
（3）增量法
增量法求解非線性問(wèn)題時(shí)，載荷是一步步逐級(jí)旋加的。其前提條件是施加過(guò)程中載荷分布是不變化的，可以把某一時(shí)刻外載{F}寫為λ{(lán)F}ref、，λ為載荷乘子，{F}ref為參考載荷矢量，這樣增量形式的平衡方程為
即：
式中增量剛度矩陣 對(duì)應(yīng)于真實(shí)變形曲線的梯度，這是增量法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，它可以追蹤結(jié)構(gòu)的變形歷史，這對(duì)材料與幾何非線性（特別是極限屈曲分析）是很有用的。
最簡(jiǎn)單的增量法是歐拉-柯西（Euler-Cauchy）法，它在非線性有限元法中稱變剛度法，在上述的方程中，由每一增量步開(kāi)始時(shí)物體的構(gòu)形計(jì)算出，步驟如下
此法普在非線性有限元發(fā)展的初期廣泛使用，但是期致命的弱點(diǎn)是很快漂移，而不符合實(shí)際解，為避免漂移采用平衡修正法可大大提高精度，甚至避免漂移現(xiàn)象。
4.2.3迭代收斂準(zhǔn)則
對(duì)于方程組的平衡迭代而言，需要一個(gè)有效的收斂準(zhǔn)則來(lái)判斷是否結(jié)束迭代，用于結(jié)構(gòu)力學(xué)的收斂準(zhǔn)則主要有三種：
（1）位移準(zhǔn)則
式中aD—位移收斂容差
||Δqi+1||一某種范數(shù)，通常取無(wú)窮范數(shù)、1范數(shù)和2范數(shù)
在有些時(shí)候，位移收斂準(zhǔn)則不可靠。
（2）不平衡力（殘余力）準(zhǔn)則
不平衡力表示為
式中{F}——外載荷矢量
{Pi}——第i次迭代終了時(shí)與內(nèi)力相平衡的節(jié)點(diǎn)力矢量
靜力分析時(shí){Pi}為：
力的收斂準(zhǔn)則為
(3)能量準(zhǔn)則
本準(zhǔn)則的意圖在于同時(shí)控制位移和力，使之一起處于平衡。方法是把每一次迭代時(shí)內(nèi)能的增量（即不平衡力在位移增量上做的功）同初始的內(nèi)能增量相比較。
式中aE——預(yù)定的能量容差
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