6 兩種有非圓輪的行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的不同設(shè)計(jì)
6.1概述
單激波推桿減速器的激波器廓形一般使用偏心圓，多激波推桿減速器的激波器廓形是非圓弧曲線。當(dāng)去掉推桿，內(nèi)外滾子合而為一時(shí)，推桿減速器就變成了滾柱活齒減速器，如圖6.1所示。因而可以把它們都看作是非圓行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。這類活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)傳動(dòng)比是個(gè)常數(shù)，如式（2.8）所示，這也是設(shè)計(jì)活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)必須遵循的準(zhǔn)則。從后面的分析可知，這就決定了活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)各嚙合副的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)都不可能是純滾動(dòng)。因而要在推桿兩端加裝內(nèi)外滾子以增加滾動(dòng)成份而減小滑動(dòng)成份。對(duì)于滾柱活齒減速器來說，因?yàn)闈L柱同時(shí)要與激波器、內(nèi)齒圈相接觸，所以一定有一面有滑動(dòng)。因而可以說活齒傳動(dòng)是一種滑滾運(yùn)動(dòng)方式的非圓行星傳動(dòng)。由于運(yùn)動(dòng)副是滑滾運(yùn)動(dòng)，實(shí)際機(jī)構(gòu)不能使用輪齒進(jìn)行傳動(dòng)，而是靠相嚙合的兩個(gè)輪的光滑表面接觸。
如果去掉瞬時(shí)傳動(dòng)比為常數(shù)這個(gè)前提，根據(jù)運(yùn)動(dòng)副都作純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方式，可設(shè)計(jì)出純滾動(dòng)的非圓行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)（圖6.2）。從后面的分析可知，這種機(jī)構(gòu)，相鄰兩行星輪之間的中心角是變化的，相鄰行星輪和太陽輪、內(nèi)齒圈之間所包容的面積也是變化的，利用這一特性，可制造出低速大扭矩液壓馬達(dá)。
心角的變化規(guī)律進(jìn)行了分析。
6.2節(jié)曲線之間的關(guān)系
設(shè)太陽輪節(jié)曲線方程為T1= T1（θ），行星輪節(jié)曲線是半徑為T2的圓，根據(jù)機(jī)構(gòu)作純滾運(yùn)動(dòng)或瞬時(shí)傳動(dòng)比為常數(shù)這兩種不同的設(shè)計(jì)原則，可設(shè)計(jì)出兩種不同的內(nèi)齒圈齒廓曲線。
6.2.1純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)方式的節(jié)曲線關(guān)系
建立如圖6.3所示的坐標(biāo)系，在起始位置，分別與太陽輪、行星輪以及內(nèi)齒圈固聯(lián)的三個(gè)動(dòng)坐標(biāo)系的極軸x1、x2、x3在同一條直線上，且指向相同。圖6.3所示為太陽輪相對(duì)行星輪轉(zhuǎn)過了φ1角的情形。設(shè)此時(shí)內(nèi)齒圈相對(duì)該行星輪轉(zhuǎn)過的角度為φ3，根據(jù)三心定理，作平行平面運(yùn)動(dòng)的三個(gè)構(gòu)件的三個(gè)瞬心必然位于同一條直線上，而純滾動(dòng)副的接觸點(diǎn)就是它們的瞬心。因而太陽輪與行星輪節(jié)曲線的接觸點(diǎn)M1，行星輪與內(nèi)齒圈節(jié)曲線的接觸點(diǎn)M2以及傳動(dòng)中心O1這三個(gè)點(diǎn)位于同一條直線上。因?yàn)槭羌儩L動(dòng)，圖6.3中弧長
應(yīng)相等（在起始位置S1與S2重合）。由此可得圖6.3中
與θ1的函數(shù)關(guān)系為。
設(shè)μ為太陽輪節(jié)曲線在M1點(diǎn)的切線正向與矢徑O1M1的夾角，由微分幾何知：
將（6.5）式及（6.9）式聯(lián)立，便是內(nèi)齒圈節(jié)曲線的方程。同理，若已知內(nèi)齒圈節(jié)曲線方程，仿上可求得太陽輪節(jié)曲線。
6.2.2按傳動(dòng)比為定值的設(shè)計(jì)
如圖6.4所示，設(shè)太陽輪相對(duì)行星輪從初始位置轉(zhuǎn)過φ1角時(shí)，內(nèi)齒圈相對(duì)該行星輪反向轉(zhuǎn)過的角度為φ3。令φ1與φ3的比值為常數(shù)i13，這時(shí)上一節(jié)中弧長相等的特性已無法保證，因而接觸點(diǎn)M1、M2也不再是運(yùn)動(dòng)的瞬心，M1、M2及中心O1不一定在同一條直線上。這就是滾柱活齒傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)形式。設(shè)計(jì)方法與第二章類同。現(xiàn)簡(jiǎn)要敘述如下：
曲線向徑與切線正方向的夾角μ以及工作角a1的計(jì)算都與純滾動(dòng)動(dòng)方式下相同，即：
由（2.16），行星輪工作角α2及α1之間有關(guān)系式
即
若用l1表示行星輪與太陽輪的中心距O1O2，則由圖6.4可得：
聯(lián)立（6.15）式及（6.18）式，便是內(nèi)齒圈的齒廓方程。內(nèi)齒圈的齒廓曲線是行星輪節(jié)曲線的外包絡(luò)線。
從上述求內(nèi)齒圈齒廓方程的過程可以看出，由于規(guī)定了轉(zhuǎn)角φ1與φ3的比值為常數(shù)i13，使得對(duì)于太陽輪的任一轉(zhuǎn)角φ1，φ3相應(yīng)地有確定的值φ3=φ1/i13。同時(shí)圖6.4中行星輪工作角α2也隨之由（6.12）式確定下來。因而M1、M2與O1三點(diǎn)肯定不會(huì)始終保持在同一條直線上。其理由如下：
假設(shè)圖6.4中O1、M1、M2三點(diǎn)始終都能保持在同一直線上，則對(duì)于太陽輪轉(zhuǎn)角φ1，圖6.4中的α2可根據(jù)圖6.3中的行星輪轉(zhuǎn)角θ2求得，由圖中幾何關(guān)系及（6.4)式應(yīng)有
另一方面，由于φ1與φ3的比的比值為常數(shù)i13，α2的值已由（6.12）式確定。比較(6.19)式與（6.12）式可知，只有在α1=0且
時(shí)，它們才是一致的，由（6.10）式及（6.11）式知，只有在
時(shí)才有，且α1=0，由于太陽輪的節(jié)曲線是周期性，所以在一周內(nèi)只有2n1個(gè)點(diǎn)（nl是太陽輪節(jié)曲線的周期數(shù)）有，其余各點(diǎn)
都不為零，對(duì)于太陽輪的轉(zhuǎn)角φ1只要不是對(duì)應(yīng)于，式（6.19）與式（6.12）是矛盾的，也就是說M2點(diǎn)必然不會(huì)與M1、O1位于同一直線上。這說明當(dāng)傳動(dòng)比為常數(shù)時(shí)，行星輪與太陽輪、行星輪與內(nèi)齒圈所組成的兩個(gè)嚙合副不可能都作純滾運(yùn)動(dòng)，一定有一個(gè)嚙合副有滑動(dòng)，因而活齒傳動(dòng)都是滑滾運(yùn)動(dòng)。
6.3節(jié)曲線的封閉條件及等分
對(duì)于作純滾運(yùn)動(dòng)的非圓行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，上面求得的節(jié)曲線關(guān)系只是一般的公式，要設(shè)計(jì)出實(shí)際的非圓行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)還要受到許多限制。
6.3.1節(jié)曲線的封閉條件
為了能夠連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，已知的太陽輪節(jié)曲線當(dāng)然應(yīng)是連續(xù)而封閉的,T1(θ1）必須是θ1的周期函數(shù)。設(shè)太陽輪一轉(zhuǎn)中的周期數(shù)是n1，當(dāng)太陽輪相對(duì)行星輪從θ1= θ10轉(zhuǎn)過一個(gè)周期時(shí)，由于
，所以由（6.2）式可知轉(zhuǎn)動(dòng)前后在接觸點(diǎn)具有相同的μ值。根據(jù)（6.4）式，設(shè)θ1=θ10時(shí)，行星輪的轉(zhuǎn)角有關(guān)系式
則當(dāng)太陽輪相對(duì)行星輪轉(zhuǎn)過一個(gè)周期后，由于μ值相同，行星輪轉(zhuǎn)角關(guān)系式為：
上式中△θ2及
分別為行星輪轉(zhuǎn)角θ2及在太陽輪從θ1=θ10轉(zhuǎn)過一個(gè)周期后的增量。由（6.20）式和（6.21）式可知在太陽輪轉(zhuǎn)過的任一周期中，行星輪轉(zhuǎn)角增量△θ2與相等，即：
由此可得到結(jié)論：太陽輪節(jié)曲線在一個(gè)周期內(nèi)的弧長與內(nèi)齒圈節(jié)曲線在一個(gè)周期內(nèi)的弧長相等。若內(nèi)齒圈的周期數(shù)為n2，則n2應(yīng)大于n1。為了減小行星輪尺寸，應(yīng)取最小整數(shù)值n1+1作為內(nèi)齒圈節(jié)曲線的周期數(shù)，從而可由（6.9）式得到內(nèi)齒圈節(jié)曲線的封閉條件為：
6.3.2節(jié)曲線上輪齒等分的限制
設(shè)齒輪的模數(shù)為m，為了使太陽輪、行星輪及內(nèi)齒圈都有等分的輪齒，它們的節(jié)曲線都必須是周節(jié)mπ的整數(shù)倍。由上節(jié)知道，太陽輪節(jié)曲線與內(nèi)齒圈節(jié)曲線在一個(gè)周期內(nèi)的弧長相等，并且內(nèi)齒圈的周期數(shù)比太陽輪的周期數(shù)大1，所以內(nèi)齒圈節(jié)曲線的周長是太陽輪節(jié)曲線周長的（n1+1）/n1倍。因此只要太陽輪節(jié)曲線在一個(gè)周期內(nèi)的弧長能夠被周節(jié)等分，就能保證內(nèi)齒圈的等分。也就是說，設(shè)z1為太陽輪齒數(shù)，則z1應(yīng)是n1的整數(shù)倍，且太陽輪與內(nèi)齒圈的輪齒等分條件為：
由于每個(gè)周期的弧長都是相等的，太陽輪節(jié)曲線的總長等于n1個(gè)周期的弧長之和，用n1乘以（6.24）兩邊，可得等分條件的另一種表達(dá)形式：
對(duì)于節(jié)曲線為圓的行星輪，輪齒等分條件為：
2T2=mz2 （6.26）
上式中z2為行星輪的齒數(shù)，顯然內(nèi)齒圈齒數(shù)z3為：
6.3.3不干涉條件
設(shè)計(jì)的非圓行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)還應(yīng)保證太陽輪最大向徑處的齒頂與內(nèi)齒圈錄小向徑處的齒頂不發(fā)生相碰。若太陽輪節(jié)曲線在θ1=0時(shí)向徑取得極小值，則內(nèi)齒圈節(jié)曲線向徑的極小值為T1（0）+2T2，對(duì)于關(guān)于極軸有對(duì)稱性的太陽輪節(jié)曲線，在θ1=π/n1時(shí)有極大向徑，若齒頂高為ha，則不發(fā)生運(yùn)動(dòng)干涉的條件為：
6.4傳動(dòng)特性分析
6.4.1太陽輪與行星輪的平均傳動(dòng)比
固定內(nèi)齒圈，當(dāng)太陽輪起點(diǎn)從初始位置開始轉(zhuǎn)動(dòng)到與行星輪重新在初始位置接觸時(shí)，太陽輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)與行星輪公轉(zhuǎn)過的圈數(shù)之比ip12稱作太陽輪與行星輪的均傳動(dòng)比。圖6.5(a）為初始位置，圖6.5(c）為太陽輪按順時(shí)針方向相對(duì)行星輪1轉(zhuǎn)過一個(gè)周期后的情形。此時(shí)內(nèi)齒圈相對(duì)該行星輪也應(yīng)轉(zhuǎn)過一個(gè)周期，即行星輪1從初始位置公轉(zhuǎn)過的角度為：
而太陽輪相對(duì)內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)過的角度φA為：
即太陽輪轉(zhuǎn)兩圈零一個(gè)周期，行星輪公轉(zhuǎn)一圈。
6.4.2行星輪的個(gè)數(shù)
設(shè)太陽輪起點(diǎn)從初始位置相對(duì)內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)過一個(gè)周期，從圖6.5(a）轉(zhuǎn)到圖6.5(b）位置。從圖6.5(b）可知，此時(shí)在內(nèi)圈的初始位置S3處可放入另一個(gè)行星輪，稱它為2號(hào)行星輪。類似當(dāng)太陽輪從初始位置相對(duì)內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)過第二個(gè)周期，在S3可放入第3號(hào)行星輪，太陽輪旋轉(zhuǎn)一圈，放入第n1+1號(hào)行星輪，太陽輪轉(zhuǎn)兩圈，放入第2nl+l號(hào)行星輪，當(dāng)太陽輪轉(zhuǎn)兩圈零一個(gè)周期，恰好第1號(hào)行星輪回到S3點(diǎn)。所以可安放的行星輪總數(shù)為2n1+1個(gè)。
6.4.3相鄰兩行星輪之間的中心角
設(shè)太陽輪起點(diǎn)從初始位置相對(duì)內(nèi)齒圈順時(shí)針轉(zhuǎn)過了φA角，當(dāng)φA大于太陽輪一個(gè)周期
時(shí)，第2號(hào)行星輪也相對(duì)內(nèi)齒圈極軸公轉(zhuǎn)過了一個(gè)角度（圖6. 5（C））。令
，則φB表示此時(shí)太陽輪與2號(hào)行星輪的初始接觸點(diǎn)S11相對(duì)內(nèi)齒圈初始位S3轉(zhuǎn)過的角度。用φ3表示1號(hào)行星輪相對(duì)內(nèi)齒圈初始位S3公轉(zhuǎn)過的角度，由圖6.3可得：
根據(jù)（6.33）式，可由任給的φA確定出太陽輪起點(diǎn)S1至1號(hào)行星輪與太陽輪節(jié)曲線的接觸點(diǎn)M1所來的中心角θ1，然后代入（6.30）式，可得l號(hào)行星輪中心O2與內(nèi)齒圈初始件S3所夾的中心角φ3(φA)。用φB代替（6.33）式中的φA，將解得的θ1值代入（6.30）式，便可得到第2號(hào)行星輪中心與內(nèi)齒圈S3點(diǎn)所夾的中心角φ3(φB)。兩行星輪之間的中心角ψ為：
可見兩行星輪所夾的中心角ψ是太陽輪相對(duì)內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)角φA的函數(shù)，它隨著φA值的不同而呈周期性的變化，并圍繞
上下波動(dòng)。太陽輪與行星輪的瞬時(shí)傳動(dòng)比i12為：
i12也是隨太陽輪轉(zhuǎn)角φA變化的函數(shù)。由于太陽輪和內(nèi)齒圈都是非圓的，而相鄰兩行星輪之間的中心角又是變化的，因而太陽輪、內(nèi)齒圈與相鄰兩行星輪之間包含的面積也是變化的，正是利用這些特性，可制造出低速大扭矩液壓馬達(dá)、空氣壓縮機(jī)等機(jī)器。
6.5設(shè)計(jì)步驟及計(jì)算實(shí)例
現(xiàn)以太陽輪是一個(gè)回轉(zhuǎn)中心在幾何中心的標(biāo)準(zhǔn)橢圓為例，來說明純滾動(dòng)非圓仃雖傳動(dòng)非圓行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法步驟。
給定齒輪模數(shù)m=2.5,n1=2，內(nèi)齒圈周期數(shù)為3 ，設(shè)計(jì)步驟如下：
6.5.1確定齒數(shù)
太陽輪的齒數(shù)z1可根據(jù)所要求的太陽輪的大小來確定，它應(yīng)是n1的整數(shù)倍。本例選z1=42，由（6.27）式，內(nèi)齒圈齒數(shù)應(yīng)為z3=63。為了確定z2的合適數(shù)值，可以采用這樣的方法，假想太陽輪和內(nèi)齒圈都退化成齒數(shù)為z1及z3的圓齒輪，則此時(shí)的行星輪半徑
應(yīng)為：
時(shí)常不是整數(shù)，我們稱它為行星輪的參考齒數(shù)。實(shí)際采用的太陽輪雖然和退化的圓齒輪具有相同的模數(shù)m和齒數(shù)z1，但是它的形狀不是圓的，這就使得實(shí)際采用的行星輪齒數(shù)z2應(yīng)比參考齒數(shù)小，太陽輪節(jié)曲線與圓相差越大，z2應(yīng)比小的越多。為了減小輪齒干涉的可能生，z2要盡量接近。本例選z2=10，從而得T2=12.5mm。
6.5.2確定太陽輪節(jié)曲線
所要求的橢圓型太陽輪節(jié)曲線方程可表示為：
上式中，a為橢圓的長軸半徑，b為橢圓的短軸半徑。由（6.25）式得輪齒等分條件為：
上式中的
可由（6.36）式求得
由（6.23）可得節(jié)曲線封閉條件為：
上式中μ按（6.2）式計(jì)算，而
由（6.2）求得為：
其中：
利用辛普生法計(jì)算數(shù)值積分，由（6.37）和（6.38）兩條件式組成的方程組可解算出參數(shù)a和b來，結(jié)果是：
a=59.7616 mm b=44.6943 mm
取ha=2.5，將T1（0）=44.6943，T1（π/2））=59.7616，T2=12.5代入（6.28）式，可知不會(huì)發(fā)運(yùn)動(dòng)干涉。
6.5.3求人齒圈節(jié)曲線
根據(jù)（6.5）式和（6.9）式，可得內(nèi)齒圈節(jié)曲線方程為：
節(jié)曲線形狀如圖6.6所示。圖6.2為該輪系加上輪齒后的情形。按（6.34）式可算得相鄰兩行星輪之間的夾角隨φA的變化規(guī)律，其關(guān)系曲線如圖6.7所示。由曲線圖可看出，當(dāng)φA=239.2°時(shí)，夾角ψ有最小值ψmin=70522°，夾角ψ的變化范圍是2.732°。
6.5.4機(jī)構(gòu)優(yōu)化
從以上設(shè)計(jì)過程可以看出，根據(jù)非圓太陽輪設(shè)計(jì)行星輪為圓的純滾動(dòng)非圓行經(jīng)齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)時(shí)，并不是對(duì)任意指定的太陽輪節(jié)曲線都有解。當(dāng)太陽輪節(jié)曲線的周期數(shù)n1給定后，節(jié)曲線必須有兩個(gè)可調(diào)整的參數(shù)（例中的a和b）的要由節(jié)曲線的封閉條件及輪齒等分條件來確定。齒輪模數(shù)m和太陽輪齒數(shù)z1是被預(yù)先指定了的。當(dāng)各參數(shù)求出后，要用不干涉條件（6.28）式進(jìn)行校驗(yàn)，若發(fā)生干涉，應(yīng)調(diào)整z1數(shù)值，重新計(jì)算太陽輪的可調(diào)整參數(shù)。
顯然，當(dāng)太陽輪與圓的差別越大時(shí)，越容易發(fā)生運(yùn)動(dòng)干涉。液壓馬達(dá)、空氣壓繃機(jī)等機(jī)器正是利用了相鄰兩行星輪之間的中心角變化的特點(diǎn)，當(dāng)太陽輪與圓的差別越大時(shí)，相鄰兩行星輪之間夾角的變化范圍也越大，這是液壓馬達(dá)等機(jī)構(gòu)所要求的。
令：
λ反應(yīng)了非圓行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)與圓行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的差別程度，當(dāng)λ=0時(shí)，非圓行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)就變成了圓行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。λ越小，越不容易發(fā)生運(yùn)動(dòng)干涉，λ越大，相鄰兩行星輪之間中心角變化的范圍也越大。表（6.1）給出了在齒輪模數(shù)m相同的情況下，橢圓形太陽輪取不同的齒數(shù)z1時(shí)，按上述設(shè)計(jì)步驟得到的結(jié)果。因?yàn)椋?/p>
表6.1 橢圓太陽輪取不同齒數(shù)時(shí)的計(jì)算結(jié)果
所以當(dāng)z1不能被2n1整除時(shí)，就不是整數(shù)。由（6.41）式和（6.40）式可得：
將上式代入不干涉條件式（6.28）后，可得
為了得到機(jī)構(gòu)不發(fā)生運(yùn)動(dòng)干涉時(shí)的最大λ值，將（6.42）式中的小于號(hào)換成等號(hào)，并將λ代入，對(duì)于橢圓形太陽輪，得到下面等式：
mz2=a-b+2ha (6.43)
從（6.37）、（6.38）、（6.43）三式所組成的方程組中，解出a、b及z2，將齒數(shù)代入( 6.40)便得到臨近發(fā)生運(yùn)動(dòng)干涉時(shí)的λ值。因?yàn)閦2是整數(shù)，當(dāng)m給定后，由上面三個(gè)式子所組成的方程組一般是無解的。若把m也作為一個(gè)參變數(shù)，這時(shí)方程有解。
在進(jìn)行具體機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)時(shí)，齒輪模數(shù)m都是指定的。根據(jù)所要求設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)體積的大小可事先指定一個(gè)太陽輪齒數(shù)z1的取值范圍，若以相鄰兩行星輪之間中心角變化的范圍最大為優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)，按上述設(shè)計(jì)方法，并加上不干涉條件的限制．則可在所規(guī)定的z1取值范圍內(nèi)得到最佳結(jié)果。
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