雙環(huán)減速器環(huán)板內(nèi)齒接觸分析及齒輪系統(tǒng)模態(tài)分析
3.1 雙環(huán)減速器環(huán)板內(nèi)齒接觸有限元分析
因?yàn)樵谏冽X差內(nèi)嚙合中，不處于嚙合位置的齒對在進(jìn)入嚙合之前以及在脫離嚙合之后，其內(nèi)、外齒廓間的間隙非常小，因此雙環(huán)減速器環(huán)板內(nèi)齒輪嚙合傳動在載荷作用下，因彈性變形實(shí)際接觸齒對數(shù)遠(yuǎn)大于理論重合度，在傳遞載荷的過程中，輪齒的變形量要大于一部分齒對的間隙，這些齒對就要接觸并同時分擔(dān)載荷，這就大大提高了整個齒輪傳動裝置的承載能力。同時實(shí)際齒輪的接觸對數(shù)及接觸應(yīng)力，隨著載荷增大而相應(yīng)增加。因而少齒差內(nèi)嚙合行星齒輪傳動的實(shí)際接觸齒對數(shù)的確定，對齒輪承載能力的估算以及齒輪模數(shù)的正確確定具有重要意義。對于齒輪的接觸問題的，國內(nèi)外學(xué)者對此已作了不少研究，取得一些研究成果。然而這些研究有的沒有考慮誤差的影響，有的僅考慮內(nèi)外嚙合齒輪副齒廓理論間隙，沒有考慮輪齒制造誤差和輪齒的彈性變形的影響。本文對于環(huán)板內(nèi)齒輪接觸問題進(jìn)行了計算，計算時考慮內(nèi)外嚙合齒輪副齒廓理論間隙、制造誤差及輪齒彈性變形的影響，在此基礎(chǔ)上，建立了少齒差內(nèi)嚙合行星齒輪傳動實(shí)際接觸齒對數(shù)及各齒間載荷分配的理論分析計算的實(shí)體模型，利用I-DEAS軟件進(jìn)行了環(huán)板內(nèi)齒輪接觸有限元計算，并用該軟件分析計算了在不同載荷工況下的實(shí)際接觸齒對數(shù)、最大接觸應(yīng)力以及兩環(huán)板上各接觸齒的載荷分配情況。
3.1.1 誤差對直齒內(nèi)嚙合傳動重合度的影響分析
通常，內(nèi)嚙合漸開線齒輪的理論計算是按無側(cè)隙的情況設(shè)計的，但要保證齒輪傳動靈活，不發(fā)生卡滯，必須保留足夠的齒側(cè)間隙，在實(shí)際制造與安裝中齒輪系統(tǒng)都必然存在尺寸誤差，這些誤差直接影響著齒輪傳動的精度、齒輪的強(qiáng)度和振動噪聲。
眾所周知，內(nèi)嚙合直齒圓柱齒輪傳動的理論重合度為：
設(shè)內(nèi)齒直齒輪傳動的齒輪模數(shù)為m，分度圓壓力角為a，外齒輪齒數(shù)為Z1，內(nèi)齒輪齒數(shù)為Z2，外、內(nèi)齒輪變位系數(shù)分別為X1、X2，外、內(nèi)齒輪變位系數(shù)分別為S1′、S2′，外、內(nèi)齒輪節(jié)圓上的齒槽寬分別為e1′、e2′，兩嚙合齒輪節(jié)圓上的圓周側(cè)隙為jt，兩嚙合齒輪非工作側(cè)齒廓沿公法線方向的側(cè)隙（法向側(cè)隙）為jn。顯然有
（3.2）
聯(lián)系式3.6與式3.8，從兩工中可以看出，計算中心距a′與嚙合角
′是一一對應(yīng)關(guān)系，這樣式3.6可以表達(dá)為三種形式：
（1）由確定的齒側(cè)間隙jn與齒輪變位系數(shù)X2-X1來求中心距a′；
（2）由確定的中心距a′與齒輪變位系數(shù)X2-X1來求齒側(cè)間隙jn；
（3）由確定的齒側(cè)間隙jn與中心距a′來求齒輪變位系數(shù)X2-X1。
當(dāng)齒輪傳動的幾何設(shè)計參數(shù)確定后，影響實(shí)際傳動的就只有制造和安裝誤差，對于中心距a′而言，影響它的因素是制造誤差、安裝誤差，而不是齒側(cè)間隙jn與齒輪變位系數(shù)X2-X1。齒輪設(shè)計是按無側(cè)隙進(jìn)行的，同時不考慮制造、安裝誤差，但加工時，齒輪齒厚公差都是負(fù)偏差，即齒輪厚公差都是負(fù)偏差，即齒輪必須減薄，這樣實(shí)際傳動存在齒側(cè)隙。如果不考慮中心距的誤差，由式3.6的第3種形式可知，齒側(cè)隙的變化必然影響到齒輪變位系數(shù)的變化。顯然，這樣的變化也就會使齒輪的齒頂圓產(chǎn)生變化，相應(yīng)的齒頂圓奢力角產(chǎn)生變化，進(jìn)而影響齒輪嚙合重合度。
由式3.5變化為
本文實(shí)驗(yàn)樣機(jī)的環(huán)板齒輪設(shè)計參數(shù)見表3.1所示，根據(jù)本文實(shí)驗(yàn)樣機(jī)的環(huán)板齒輪設(shè)計參數(shù)，假定嚙合角不變化，則對應(yīng)齒側(cè)隙的變化，應(yīng)用MATLAB繪圖分析，得到了齒輪變位系數(shù)隨齒側(cè)隙變化時的變化規(guī)律圖，見圖3.1所示。
表3.1 內(nèi)嚙合齒輪參數(shù)表
|
|
外齒輪 |
環(huán)板內(nèi)齒 |
|
模數(shù) |
2 |
|
齒數(shù) |
56 |
58 |
|
嚙合角 |
39.039° |
|
變位系數(shù) |
1.37 |
1.685 |
|
齒頂高系數(shù) |
0.7 |
|
中心距 |
2.42 |
|
齒頂圓直徑 |
119.519 |
120.774 |
|
計算重合度 |
1.124 |
由3.2圖可以看出，當(dāng)齒側(cè)隙jn由0變化至.25毫米時（查資料取較大最小側(cè)隙參考值），齒輪變位系數(shù)差X2-X1的變化量由近0.32變化到0.50，變化了約0.18。
對于齒頂圓直徑按德國工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)DIN的簡單方法有：
（3.10）（3.11）
由式3.10、3.11可以看出，當(dāng)總變位系數(shù)
產(chǎn)生變化時，必然引起起嚙合齒輪齒頂圓直徑的變化。按X
1、X
2變化最小原則，有三種可能性，即X
1不變，X
2變化0～0.18；或X
1變化0～0.18，X
2不變；或X
1變小，X
2變大，變化范圍0～0.09。假定齒輪嚙合角不變，按本文實(shí)驗(yàn)樣機(jī)參數(shù)，當(dāng)齒輪變位系數(shù)發(fā)生變化時，其變化量對重合度的影響狀況見圖3.2所示。從圖3.2所示可以看出，隨外齒輪變位變小時，齒輪嚙合重合度減小，隨內(nèi)齒輪變位變小時，齒輪嚙合重合度增大，從圖中的變化趨勢為看，外齒輪變位系數(shù)的變化對重合度的影響程度與內(nèi)齒輪變位系數(shù)的變化對重合度的影響程度大約是相同的，只是趨向是反向的。
對于中心距而言，查資料表35.2-60可知中心距的極限偏差為±0.011mm,假定外齒輪齒頂圓壓力角不變，內(nèi)齒輪齒頂圓壓力角隨變位系數(shù)變化，對于中心距變化對重合度的影響變化趨勢及變位系數(shù)變化對重合度的影響的變化趨勢比較情形見圖3.3。假定內(nèi)齒輪齒頂圓壓力角不變，外齒輪齒頂圓壓力角隨變位系數(shù)變化，對于中心距變化對重合度的影響變化趨勢及變位系數(shù)變化對重合度的影響的變化趨勢比較情形見圖3.4所示。
從圖3.3、3.4明顯看出中心距變化對重合度的影響程度明顯小于變位系數(shù)變化對重合度的影響程度。
齒輪制造誤差中對齒廓間隙影響較大的有最小齒側(cè)間隙、基節(jié)偏差、齒形誤差、齒距偏差、齒厚偏差等等，但這些因素相互關(guān)聯(lián)、相互制約、相互影響，特別是基節(jié)偏差、齒形誤差、齒距偏差、齒厚偏差等最終影響齒側(cè)隙的變化，因此最終影響齒輪傳動的主要因素仍是中心距和齒側(cè)隙的變化。分析圖3.2、3.3、3.4，在允許的制造誤差范圍內(nèi)及最小齒側(cè)隙的情況下，重合度的理論計算值變化不是很大。
3.1.2 接觸分析中制造安裝誤差的引入
從上述分析可知，齒輪的制造、安裝誤差對齒輪嚙合的重合度有一定的影響，但就理論計算值而言，從上面的分析結(jié)果可以看出其影響程度是不大的，然而在少齒差內(nèi)嚙合齒輪副中，嚙合線附近兩相鄰工作齒對齒側(cè)間隙非常小。假設(shè)內(nèi)齒輪固定，當(dāng)輪齒承擔(dān)載荷時，兩接觸輪齒將分別產(chǎn)生彈性變形，外齒輪將繞其軸線旋轉(zhuǎn)一附加角，當(dāng)這一附加轉(zhuǎn)角足夠大時，除原有接觸齒對繼續(xù)發(fā)生接觸外，相鄰工作齒對的齒側(cè)間隙也會消失，這樣就產(chǎn)生了多齒承載接觸。
在本節(jié)中，引入制造、安裝誤差，用有限元方法計算內(nèi)齒傳動的接觸對數(shù)，同時驗(yàn)證上節(jié)中討論的影響重合度的關(guān)鍵參數(shù)。用I-DEAS軟件計算環(huán)板內(nèi)齒接觸問題，其關(guān)鍵是齒輪輪齒的實(shí)體建模。對于相嚙合的齒輪，因其兩工作齒廓側(cè)面相互位置誤差的變化導(dǎo)致了實(shí)際齒廓間隙的變化，在嚙合線附近只有少數(shù)幾對齒在我們討論范圍內(nèi)，這里我們只考慮對齒廓間隙影響較大的最小齒側(cè)間隙、基節(jié)偏差、齒形誤差、齒距偏差、齒厚偏差等。在用用I-DEAS軟件進(jìn)行齒輪輪齒的實(shí)體建模時，對輪齒而言，沿圓周是均勻分布的，因此，齒輪的制造誤差在實(shí)體造型時，表現(xiàn)在齒輪輪齒的齒厚及基圓尺寸的誤差上。而經(jīng)多元回歸分析，得出各變量對齒廓間隙的內(nèi)在影響關(guān)系表明：齒輪的基節(jié)偏差是最主要的影響因素。
本文雙環(huán)減速器齒輪加工精度為7級，根據(jù)資料，查得齒輪的基節(jié)極限偏差△fpb為±0.014，對于齒厚極限偏差，根據(jù)資料，查得齒輪齒厚的極限偏差△Es的上偏差為-128μm，下偏差為-192μm，將這些影響因素的極限偏差，通過幾何關(guān)系的轉(zhuǎn)換，換算到基節(jié)上，通過參數(shù)方程繪出齒輪單個輪齒的輪廓線，再由單個輪齒的齒廓沿圓周接齒輪齒數(shù)均勻復(fù)制，這樣得到整個齒輪的齒廓線，由齒廓線延伸成齒輪實(shí)體模型。
由于零部件的制造誤差，同時因裝配原因，在進(jìn)行整體裝配時，產(chǎn)生零部件間的安裝誤差，這些誤差直接影響齒輪間的嚙合狀態(tài)。對于雙環(huán)減速器中的環(huán)板內(nèi)齒輪嚙合傳動，由于環(huán)板內(nèi)齒中心與輸出齒輪中心之間的偏心距尺寸較�。ū疚碾p環(huán)減速器的偏心距為2.42mm) ，因此，偏心軸的偏心距制造誤差及中心距制造安裝誤差是影響環(huán)板內(nèi)齒嚙合傳動的關(guān)鍵。本文雙環(huán)減速器兩偏心軸偏心距的制造誤差為±0.011 。
綜合以上誤差分析，將環(huán)板與輸出齒輪軸按極限偏差尺寸所定的位置進(jìn)行輪齒嚙合裝配，然后進(jìn)行有限元接觸分析。
3.1.3 齒輪有限元模型的建立及邊界條件的確定
環(huán)板內(nèi)齒輪與輸出軸齒輪之間的傳動是直齒輪傳動，為保證進(jìn)行接觸計算時，有較多的有較接觸區(qū)域，齒輪輪齒部分的有限元網(wǎng)格采用映射網(wǎng)格劃分法（Mapped Meshing ）對齒輪進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分。同時，為保證兩對嚙合齒輪所劃分的網(wǎng)格接觸對相應(yīng)的面能對應(yīng)齊，因此齒輪嚙合的接觸面相應(yīng)應(yīng)當(dāng)齊整。用輸出軸齒輪的齒頂面所在的輪廓曲面對環(huán)板內(nèi)齒進(jìn)行劃分（partition 命令），同理用環(huán)板內(nèi)齒的齒頂面所在的輪廓曲面對輸出軸齒輪進(jìn)行劃分，這樣得到對應(yīng)齊整的齒輪嚙合的接觸面，如圖3.5所示。根據(jù)圖3.5所示，采用映射網(wǎng)格劃分法( Mapped Meshing）進(jìn)行網(wǎng)格劃分的輪齒部分即是圖中輸出齒輪齒頂圓與環(huán)板內(nèi)齒齒頂圓之間所劃分的部分，而其余部分采用自由網(wǎng)格劃分法（Free Meshing）進(jìn)行劃分，劃分網(wǎng)格后的部分網(wǎng)格圖見圖3.6所示。考慮實(shí)際接觸齒對數(shù)不會太多，所以每塊環(huán)板上只給出6個輪齒進(jìn)行接觸計算。環(huán)板嚙合的實(shí)際過程是環(huán)板齒輪帶動輸出齒輪運(yùn)動，計算時為方便，假設(shè)環(huán)板固定不動，設(shè)定輸出軸繞軸線轉(zhuǎn)動，將減速器的輸出功率換算為輸出扭矩，加在輸出軸的輸出端。
3.1.4 接觸計算結(jié)果分析
按考慮偏心距誤差影響及考慮齒厚誤差影響的兩個極限狀態(tài)，組合為十種情況進(jìn)行計算。十種計算工況見表3.2所示�？紤]齒厚誤差影響的兩個極限狀態(tài)分別是齒輪的輪齒最薄、最厚，偏心距誤差的兩個極限狀態(tài)分別是偏心軸的偏心距最大、最小兩種情況。種接觸情況的計算結(jié)果分別由表3.3～3.7列出。
3.2計算工況列表
|
序
號 |
工況說明 |
序
號 |
工況說明 |
|
齒厚狀態(tài) |
偏心距狀態(tài) |
兩環(huán)板狀態(tài) |
齒厚狀態(tài) |
偏心距狀態(tài) |
兩環(huán)板狀態(tài) |
|
1 |
最厚 |
無誤差 |
對稱 |
6 |
最薄 |
最大正偏差 |
對稱 |
|
2 |
最薄 |
無誤差 |
對稱 |
7 |
最厚 |
最大負(fù)偏差 |
不對稱 |
|
3 |
最厚 |
最大負(fù)偏差 |
對稱 |
8 |
最薄 |
最大負(fù)偏差 |
不對稱 |
|
4 |
最薄 |
最大負(fù)偏差 |
對稱 |
9 |
最厚 |
最大正偏差 |
不對稱 |
|
5 |
最厚 |
最大負(fù)偏差 |
對稱 |
10 |
最薄 |
最大正偏差 |
不對稱 |
3.4工況一接觸情況計算表
|
誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
|
環(huán)板1
|
環(huán)板2 |
|
工
況
一 |
200 |
1 |
1 |
75.2 |
|
160 |
1 |
1 |
66.8 |
|
120 |
1 |
1 |
56.1 |
|
80 |
1 |
1 |
41.1 |
|
40 |
1 |
1 |
28.0 |
3.5工況二接觸情況計算表
|
誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
|
環(huán)板1
|
環(huán)板2 |
|
工
況
二 |
200 |
1 |
1 |
75.2 |
|
160 |
1 |
1 |
66.8 |
|
120 |
1 |
1 |
56.1 |
|
80 |
1 |
1 |
41.1 |
|
40 |
1 |
1 |
28.0 |
3.6工況三接觸情況計算表
|
誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
|
環(huán)板1
|
環(huán)板2 |
|
工
況
三 |
200 |
1 |
1 |
68.2 |
|
160 |
1 |
1 |
62.6 |
|
120 |
1 |
1 |
55.1 |
|
80 |
1 |
1 |
40.2 |
|
40 |
1 |
1 |
25.3 |
3.7工況四接觸情況計算表
|
誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
|
環(huán)板1
|
環(huán)板2 |
|
工
況
四 |
200 |
2 |
2 |
74.6 |
|
160 |
2 |
2 |
62.1 |
|
120 |
2 |
2 |
49.0 |
|
80 |
2 |
2 |
41.8 |
|
40 |
1 |
1 |
26.6 |
3.8工況五接觸情況計算表
|
誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
|
環(huán)板1
|
環(huán)板2 |
|
工
況
五 |
200 |
2 |
2 |
2.2 |
|
160 |
2 |
2 |
58.6 |
|
120 |
2 |
2 |
45.6 |
|
80 |
2 |
2 |
42.1 |
|
40 |
1 |
1 |
26.5 |
3.9工況六接觸情況計算表
|
誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
|
環(huán)板1
|
環(huán)板2 |
|
工
況
六 |
200 |
1 |
1 |
76 |
|
160 |
1 |
1 |
63.2 |
|
120 |
1 |
1 |
49.7 |
|
80 |
1 |
1 |
40.5 |
|
40 |
1 |
1 |
28.5 |
3.10工況七接觸情況計算表
|
誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
|
環(huán)板1
|
環(huán)板2 |
|
工
況
七 |
200 |
1 |
3 |
76 |
|
160 |
0 |
2 |
63.2 |
|
120 |
0 |
2 |
49.7 |
|
80 |
0 |
1 |
40.5 |
|
40 |
0 |
1 |
28.5 |
3.11工況八接觸情況計算表
|
誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
|
環(huán)板1
|
環(huán)板2 |
|
工
況
八 |
200 |
1 |
2 |
130.0 |
|
160 |
0 |
2 |
114.0 |
|
120 |
0 |
2 |
93.4 |
|
80 |
0 |
2 |
70.2 |
|
40 |
0 |
2 |
39.0 |
3.12工況九接觸情況計算表
|
誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
|
環(huán)板1
|
環(huán)板2 |
|
工
況
九 |
200 |
2 |
1 |
104.0 |
|
160 |
2 |
0 |
92.6 |
|
120 |
2 |
0 |
86.6 |
|
80 |
2 |
0 |
65.3 |
|
40 |
1 |
0 |
42.8 |
3.13工況十接觸情況計算表
|
誤差情況 |
載荷（N·m） |
接觸齒對數(shù) |
最大接觸應(yīng)力（MPa） |
|
環(huán)板1
|
環(huán)板2 |
|
工
況
十 |
200 |
2 |
1 |
136.0 |
|
160 |
2 |
0 |
117. |
|
120 |
2 |
0 |
102.0 |
|
80 |
2 |
0 |
77.4 |
|
40 |
2 |
0 |
47.6 |
由表3.2～3.13可以看出，無論有無制造、安裝誤差的影響，隨著負(fù)荷的增加，齒輪實(shí)際嚙合接觸對數(shù)增加，但從計算結(jié)果分析證明，負(fù)荷對接觸對的影響小于誤差對接觸對的影響。對比表中的接觸對數(shù)和接觸應(yīng)力，數(shù)據(jù)表明當(dāng)齒厚發(fā)生變化時，實(shí)際接觸齒對數(shù)變化比較大，同時最大接觸應(yīng)力也有明顯變化。從變化的趨勢上看出與前面的理論推導(dǎo)變化趨勢相同，這里只是更加明顯。
工況六至工況十這四和情況，是指兩環(huán)板之間不對稱，即偏心軸的兩個偏心拐的尺寸誤差不一致，這里考慮的是特殊狀況，從表3.10－3.13看出，當(dāng)兩環(huán)板不對稱時，將產(chǎn)生嚴(yán)重的載荷不均現(xiàn)象，載荷偏向中心距小的環(huán)板內(nèi)齒上，甚至只有一個環(huán)板承受載荷。由此說明，對于雙環(huán)減速器偏心軸有加工，應(yīng)特別注意兩曲捌的制造誤差，應(yīng)盡量使安裝好的兩環(huán)板具有較好的對稱性。圖3.7～圖3.12為六種工況下環(huán)板內(nèi)齒的接觸齒對的應(yīng)力云圖。
3.2 雙環(huán)減速器有限元模型建立及模態(tài)分析
近年來，隨著齒輪振動噪聲研究的不斷深入，不僅需要考慮齒輪系統(tǒng)及其嚙合過程，還必須考慮動態(tài)嚙合力在整個齒輪系統(tǒng)中的傳遞，以及系統(tǒng)中各零部件的固有特性和動態(tài)響應(yīng)的性質(zhì)，因此，必須以整個齒輪系統(tǒng)為研究對象，建立同時包括傳動系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的完整系統(tǒng)的分析模型。本節(jié)將在雙環(huán)減速器運(yùn)動特性分析的基礎(chǔ)上，以整個雙環(huán)減速器齒輪系統(tǒng)為對象，建立有限元動力分析模型，全面分析該系統(tǒng)的固有特性和動態(tài)響應(yīng)。
齒輪系統(tǒng)的固有特性一般指系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，是齒輪系統(tǒng)的動態(tài)特性之一，它對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，動載荷的產(chǎn)生與傳遞，以及系統(tǒng)振動的形式等都具有重要意義。此外，固有特性還是用振型疊加法求解系統(tǒng)響應(yīng)的基礎(chǔ)。由于系統(tǒng)的固有特性表明了在哪些頻率下結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生共振以及在各階頻率下結(jié)構(gòu)的相對變形，因此對于改善結(jié)構(gòu)動態(tài)特性具有重要意義。通常，研究齒輪系統(tǒng)固有特性有理論計算法和實(shí)驗(yàn)測試法兩種。實(shí)驗(yàn)測試將在以后的章節(jié)中研究，本章將利用數(shù)值計算法計算雙環(huán)減速器齒輪系統(tǒng)的固有特性。結(jié)構(gòu)系統(tǒng)固有特性的數(shù)值計算通常采用有限元模態(tài)分析方法。在有限元分析中，結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特征用微分方程組表征，則結(jié)構(gòu)的固有頻率和固有振型相應(yīng)地由動力學(xué)方程的特征值和特征向量所確定。所以可以說，求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型即為求系統(tǒng)的特征值和特征向量。特征值問題的解法很多，主要有多項(xiàng)式割線迭代法、矢量逆迭代法、廣義雅可比法、子空間迭代法和行列式收縮法。動力問題有限元法是求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)的大型動力學(xué)方程組的特征值問題的有效方法。本章將用動力有限元法對雙環(huán)減速器齒輪系統(tǒng)進(jìn)行特征值分析，計算其固有頻率和固有振型。
本文建立了齒輪系統(tǒng)的有限元動力學(xué)模型，用I-Deas 集成化軟件的固有模態(tài)求解模塊求解了齒輪系統(tǒng)的固有頻率和振型，并用響應(yīng)動力（Response Dynamios ) 分析模塊研究了齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性。要進(jìn)行有限元模態(tài)分析，必須先建立齒輪系統(tǒng)的有限元力學(xué)模型。
3.2.1 齒輪系統(tǒng)有限元模型的建立
通常，實(shí)際工程結(jié)構(gòu)都是質(zhì)量、剛度和阻尼連續(xù)分布的連續(xù)系統(tǒng)，其動力學(xué)特性常常用偏微分方程組描述，但由于實(shí)際結(jié)構(gòu)的幾何形狀及邊界條件復(fù)雜，難以用解析法求解偏微分方程組。于是，通常對實(shí)際工程結(jié)構(gòu)離散化，將連續(xù)分布參數(shù)系統(tǒng)簡化為具有有限多個自由度的集中參數(shù)系統(tǒng)。用矩陣表達(dá)式對每個單元進(jìn)行單元分析，根據(jù)虛位移原理建立單元的動態(tài)平衡方程式；然后，作整體分析，得到整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力學(xué)方程式。應(yīng)用自由振動邊界條件，得到由有限元法計算整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)固有振動特性的基本方程。這樣，通過離散化模型，可將復(fù)雜的偏微分方程組簡化為可以求解的常微分方程組，從而使問題的求解大大簡化。如前所述，雙環(huán)減速器結(jié)構(gòu)運(yùn)動特性復(fù)雜，既有旋轉(zhuǎn)齒輪運(yùn)動，又有連桿平面運(yùn)動，根據(jù)這一具體情況，本文用集中參數(shù)法建立了該傳動系統(tǒng)的彎——扭耦合振動的動力學(xué)分析模型。對箱體建立了有限元分析模型，該有限元模型的建立是用SDRC公司的I-Deas大型集成化軟件完成，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行動力學(xué)響應(yīng)分析計算。當(dāng)進(jìn)行系統(tǒng)的模態(tài)計算時，為了模型建立的方便，則將齒輪輪齒部分簡化為分度圓柱，將齒輪和輪毅及輪毅與軸的緊配合聯(lián)接看成剛性聯(lián)接，忽略鍵槽、倒角和退刀槽的影響，利用自由網(wǎng)格劃分法（Free Meshing）對齒輪進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分。圖3.17為輸出齒輪軸的結(jié)構(gòu)示意圖，齒輪的有關(guān)參數(shù)見表2.1。物理參數(shù)為：彈性模量E = 2.06×l011N/m2，泊松比為0.3, 材料密度p=7.8×103kg/m3。
采用四節(jié)點(diǎn)四面體單元，利用軟件自由網(wǎng)格劃分法（Free Meshing ）對輸出齒輪軸進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分。減速箱的其它零件采用相同的方法進(jìn)行有限元建模，圖3.18為輸出齒輪軸的有限元網(wǎng)格模型共劃分為3021個單元，835個節(jié)點(diǎn)，圖3.19為偏心軸的有限元網(wǎng)格模型，共劃分為4098個單元，1188個節(jié)點(diǎn)，圖3.20 為環(huán)板的有限元網(wǎng)格模型，共劃分為1505個單元，594個節(jié)點(diǎn)。
雙環(huán)減速器箱體是用鑄鐵鑄造而成，不考慮或?qū)Ψ治鲇绊懮跷⒌慕Y(jié)構(gòu)特征，如小孔、園角、倒角、螺栓孔等，在進(jìn)行減速箱實(shí)體建模時，忽略上述因素的影響，同時將箱蓋與箱體合為一體，而齒輪箱與前后端蓋、軸承組合而成，結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，建模時不考慮頂蓋與箱體、前后端蓋、軸承與箱體的接合部的影響。軸承采用相同尺寸的圓環(huán)套，而其材料性質(zhì)用具有與軸承等效剛度相同的材料參數(shù)，這些處理不會對齒輪箱體的重量及剛度產(chǎn)生大的影響，完全能保證足夠的計算精度。用自由網(wǎng)格劃分方法（Free Meshing)，采用八節(jié)點(diǎn)四面體單元劃分網(wǎng)格，圖3.21為所建立的齒輪箱有限元模型網(wǎng)格，節(jié)點(diǎn)數(shù)為8761，單元數(shù)為28286。前面分別建立了齒輪系統(tǒng)主要零件和箱體的有限元網(wǎng)格，將簡化后的軸承用相同的方法進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，再用I-DEAS軟件的APPED命令將齒輪系統(tǒng)的各零部件集成為整個系統(tǒng)的有限元網(wǎng)格模型，如圖3.22 所示。
齒輪系統(tǒng)整個模型的單元數(shù)為112072，節(jié)點(diǎn)數(shù)為66120。
劃分有限元網(wǎng)格后，還必須對整個網(wǎng)格模型進(jìn)行檢查，從而保證計算結(jié)果的真實(shí)性和準(zhǔn)確性。首先檢查自由單元邊，當(dāng)單元的某一邊不在其它單元之內(nèi)時，稱為自由單元邊。在復(fù)雜模型的建立過程中，通過拉伸旋轉(zhuǎn)等操作產(chǎn)生的各個部件，有時會沒有連接在一起，這將導(dǎo)致有限元模型開裂，影響計算結(jié)果，嚴(yán)重時將使計算失敗。其次檢查重復(fù)單元、重復(fù)節(jié)點(diǎn)，根據(jù)情況決定是否將它們合并在一起。最后檢查單元的形狀參數(shù)，過度扭曲的單元將影響計算，必須并將其修改為可以接受的形狀。
3.2.2 齒輪系統(tǒng)有限元模態(tài)分析
結(jié)構(gòu)模態(tài)是振動系統(tǒng)特性的一種表征。一般來說，模態(tài)參數(shù)包括固有頻率、固有振型、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻尼比等，但其中最重要的是前兩項(xiàng)。模態(tài)參數(shù)將表明在哪幾種頻率下結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生共振以及在各階頻率下結(jié)構(gòu)的相對變形，對于改善結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性，這是最重要的基本參數(shù)。
通常，結(jié)構(gòu)的前幾階固有頻率較低，對結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性影響較大，所以分析時只提取齒輪系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的前20階固有頻率及其對應(yīng)的振型便能滿足工程需要。為了能反映箱體的實(shí)際情況，在進(jìn)行模態(tài)分析時將箱體底座z方向約束，地腳螺栓處用固定約束，研究系統(tǒng)的約束模態(tài)。利用I-DEAS軟件的固有模態(tài)求解模塊求解模型的固有頻率和固有振型的方法有：Lanczos法、Guyan Reduction法和同步向量迭代法（Simultaneous vecto: Iteraron,SVI）。Guyan法是決動力學(xué)問題的一種古典方法，但計算結(jié)果的精度在很大程度上取決于模型中的主自由度的選取。SVI法的精度不取決于用戶的判斷，但通常計算時間比Guyan法要長。一般求結(jié)構(gòu)的固有頻率和固有振型時用Lanczos法，Lanczos法是近年來新興的一種模態(tài)求解方法，其特征值、特征向量求解精度高。它的計算速度比另兩種方法快，不需要選取“主自由度”，且要求的輸入數(shù)據(jù)較少。Lanczos法使用Stunn序列檢查，在用戶感興趣的頻率范圍內(nèi)，在每個漂移點(diǎn)處如果不能找到所有的特征根，Lanczos法會給出提示信息，以避免漏根和引入不可能的根。用Lanczos法求解特征值和特征向量時，先根據(jù)載荷空間分布模式按一定規(guī)律生成一組相互正交的Lanezos向量，在將系統(tǒng)運(yùn)動方程轉(zhuǎn)換到這組Lanczos向量空間以后，對運(yùn)動方程進(jìn)行縮減，然后通。過求解一次縮減了的運(yùn)動方程的特征值問題，再經(jīng)過坐標(biāo)系的變換，進(jìn)而就可得到原系統(tǒng)的部分特征解，從而避免了一般算法如反迭代法或子空間迭代法中的多次迭代步驟，因而，顯著提高了求解效率。Lanczos方法適應(yīng)面廣泛，可適用于所有的大中型結(jié)構(gòu)問題，并都能給出很好的結(jié)果。
與其它特征值問題求解方法一樣，Lanczos算法的主要目的是求解結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力學(xué)方程。
（3.12）
式中M、C、K——系統(tǒng)的總質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣
——系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)加速度、速度和位移向量
——節(jié)點(diǎn)載荷向量
不考慮阻尼影響的多自由度系統(tǒng)自由振動方程為
（3.13）
設(shè)式（3.12）解的形式為
（3.14）
式中
——n階向量，位移向量
的幅值
——向量
振動的頻率
t0——由初始條件確定的時間常數(shù)
將式（3.14）代入式（3.13）得到特征方程為
（3.15）
或
KX=MXΩ2 （3.16）
式中，
，
，X、
分別為固有振型矩陣和固有頻率矩陣。
引入變換
（3.17）
式中，q（t）=[q1、q2 … qn]T，為廣義得位移向量，qi（i=1，2，…，n）為廣義位移值。
將上述變換代入式（3.12）中，兩端前乘XT，則式（3.12）成為n個解耦的二階常微分方程
（3.18）
式中
——模態(tài)阻尼因子
——無阻尼固有頻率
——模態(tài)力，
，是載荷向量
在振型{X}
i上的投影，若
按一定的空間分布模式而隨時間變化，即
（3.19）
上工中的符號s表示空間坐標(biāo)。
則求解
（3.20）
正則化得，
，其中
再求解
（3.21）
將式（3.20）的解正交化得
（3.22）
式中，
為了保證和提供計算的穩(wěn)定性，需要對由式（3.22）計算得到的
進(jìn)行重正交處理，即
（3.23）
式中，
，上式中的
即為式（3.22）中的
，其迭計算終止于
滿足規(guī)定的誤差，或s達(dá)到某規(guī)定的值。然后將
恢復(fù)寫出為
，進(jìn)行正則化計算得
，其中
。
由式（3.21）、（3.22）和
得到
（i=2，3，…，且q0=0)
（3.24）
式中，A=K-1M。將上式寫成矩陣形式為
AQ=QT （3.25）
式中，Q=[q1 q2 … qr]，矩陣T如下式所示
（3.26）
引入原特征向量和Lanczos向量間的變換X
r=QZ（Z為r×r階矩陣），將原廣義特征值方程KX=MX
兩邊用Q
TMK
-1前乘、用
后乘得到用Lanczos向量內(nèi)三對角矩陣T表示的標(biāo)準(zhǔn)特征值問題，即
（3.27）
求解標(biāo)準(zhǔn)特征值問題式（3.27）的特征解：
（3.28）
由此計算得到原問題的部分特征解
（3.29）
從而使對A的特征值求解轉(zhuǎn)化為對T 的求解。由此可見，Lanczos算法的最大優(yōu)點(diǎn)是其所得的三對角陣T的特征解直接近似于原矩陣A中r個特征根。因此，對于僅需求解部分模態(tài)解的大型結(jié)構(gòu)問題，Lanczos法可以在子空間內(nèi)非�？焖儆行У厍蠼�。本課題對系統(tǒng)各主要零部件及整體系統(tǒng)固有特性的求解就采用了這種方法。
如圖3.22 所示的齒輪系統(tǒng)有限元模型，根據(jù)實(shí)際的安裝情況，為了能比較準(zhǔn)確地反映實(shí)際狀態(tài)，箱體的邊界條件為：箱體底座垂直方向約束，四個螺栓孔處全部固定約束。則研究齒輪系統(tǒng)的約束模態(tài)，表3.14～3.15分別為用I-Deas軟件的Lanczos模態(tài)求解法計算得到的各重要零部件及齒輪系統(tǒng)前上10階固有頻率和響應(yīng)的振型情況。限于篇幅，圖3.23給出了齒輪系統(tǒng)的前十階固有振型。
表3.14 齒輪系統(tǒng)前10階固有頻率和振型
|
模型 |
固有頻率（Hz） |
振型特征 |
|
1 |
974.3714 |
箱體橫向（y向）彎曲 |
|
2 |
1219.1347 |
箱體橫向（x向）彎曲 |
|
3 |
1575.9162 |
輸入軸輸出軸彎曲+箱體扭擺 |
|
4 |
1690.4077 |
箱體底面向內(nèi)凹陷 |
|
5 |
1733.7038 |
輸入軸輸出軸向下彎曲 |
|
6 |
1738.6459 |
輸出軸輸出軸彎向上彎曲 |
|
7 |
1871.7482 |
輸入軸輸出軸水平彎曲 |
|
8 |
2345.6277 |
箱體兩邊膨脹中間向下凹陷 |
|
9 |
2657.8228 |
環(huán)板扭擺 |
|
10 |
2706.0426 |
輸入軸輸出軸彎曲向上彎曲+箱體扭彎 |
表3.15 零件前10階固有頻率
|
模態(tài) |
固有頻率（Hz） |
|
環(huán)板 |
輸出軸 |
偏心軸 |
輸入軸 |
箱體 |
|
1 |
1097.70 |
3004.30 |
2037.79 |
4538.75 |
890.79 |
|
2 |
1490.23 |
3021.40 |
2039.17 |
4542.69 |
1317.35 |
|
3 |
2355.64 |
6231.67 |
5118.85 |
10006.96 |
1428.24 |
|
4 |
2638.10 |
7985.83 |
5126.75 |
10326.25 |
1510.36 |
|
5 |
2977.05 |
8009.92 |
5590.44 |
10329.09 |
1681.76 |
|
6 |
3034.42 |
9210.48 |
8503.90 |
15266.32 |
1725.52 |
|
7 |
3457.06 |
13634.45 |
8939.29 |
18645.97 |
1761.74 |
|
8 |
3754.52 |
13704.50 |
8961.50 |
18668.88 |
2010.17 |
|
9 |
4296.74 |
14793.46 |
11425.93 |
19068.83 |
2021.84 |
|
10 |
4781.41 |
15484.25 |
13581.56 |
27836.97 |
2059.41 |
3.3 本章小結(jié)
在分析誤差對直齒內(nèi)嚙合傳動重合度的影響分析的基礎(chǔ)上，考慮部分制造誤差及安裝的影響，對環(huán)板內(nèi)齒的嚙合傳動，建立了考慮誤差的環(huán)板內(nèi)齒接觸有限元模型，并按不同的誤差狀態(tài)，組合成十種不同的工況，對不同的工況分別建立了有限元接觸分析計算模型，通過計算結(jié)果分析討論了誤差及載荷變化的對齒輪接觸齒對的影響，指出了因載荷不均造成的減速器振動因素。
1）在雙環(huán)減速器齒輪系統(tǒng)的制造、安裝誤差中，齒輪側(cè)隙的誤差對齒輪重合度的影響大于中心距誤差對重合度的影響。而對于齒側(cè)隙的誤差大小重要是由于齒輪變位系數(shù)的變化造成的。即齒輪變位系數(shù)的誤差對齒輪重合度的影響大于中心距誤差對重合度的影響。
2）對于兩環(huán)板與輸出齒輪的傳動，如果兩環(huán)板對于輸出齒輪中心不對稱，即當(dāng)兩偏心軸上的兩偏心曲拐的誤差不一致時，將產(chǎn)生兩環(huán)板嚴(yán)重的載荷不均現(xiàn)象。這是雙環(huán)減速器產(chǎn)生振動故障的重要因素。
