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  具有非線性遲滯特性鋼絲繩聯(lián)軸器建模與參數(shù)辨識

3-1引言

由上章對聯(lián)軸器振動試驗(yàn)研究結(jié)果可知，在大位移振動情況下，聯(lián)軸器表現(xiàn)出非線性遲滯特性．這一特性直接與聯(lián)軸器動剛度及阻尼有關(guān)，當(dāng)這種聯(lián)軸器用于船舶推進(jìn)軸系時(shí)，將影響到軸系的動力特性，因此弄清楚聯(lián)軸器恢復(fù)力與動剛度和阻尼的關(guān)系，即建立聯(lián)軸器恢復(fù)力的數(shù)學(xué)模型是十分重要的，對于深人分析研究推進(jìn)軸系的動力特性也是不可缺少的。
由鋼絲繩聯(lián)軸器的 -x遲滯回線可知，聯(lián)軸器的遲滯特性不宜用雙線性模型來描述，主要原因是雙線性模型與聯(lián)軸器的動態(tài)遲滯回線外形相差甚遠(yuǎn)，雙線性模型將系統(tǒng)剛度系數(shù)處理成二個(gè)線性剛度系數(shù)。這不足以描述鋼絲繩聯(lián)軸器的非線性遲滯特性中的非線性剛度系數(shù)，雙線性模型阻尼僅處理為干摩擦阻尼，也不足以描述聯(lián)軸器阻尼的復(fù)雜成分。一階微分方程模型主要用于遲滯系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)分析中，這種模型用于計(jì)算遲滯系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)動力響應(yīng)很不方便，模型中各參數(shù)的物理意義不明確，模型形式不利于各參數(shù)的辨識，而且彈性力和阻尼力在恢復(fù)力表達(dá)式中不顯現(xiàn)，不利于理論分析�；�于平均和等效原理的跡法和以此為基礎(chǔ)K₀等建立的模型都有自己的不足，前者只能描述遲滯恢復(fù)力與位移和速度的關(guān)系，而不能全面描述遲滯恢復(fù)力與各振動參數(shù)的關(guān)系，后者只能描述三個(gè)階次非線性彈簧剛度，其應(yīng)用范圍受到限制。由此可知，現(xiàn)有描述遲滯特性的數(shù)學(xué)模型都不能用來描述聯(lián)軸器的非線性遲滯特性。因此，本章將在前人研究的基礎(chǔ)上，研究聯(lián)軸器動剛度和阻尼的特性，建立既能合理描述聯(lián)軸器非線性遲滯特性又能滿足較高精度要求的數(shù)學(xué)模型。

3-2擬合分解恢復(fù)力一位移遲滯回線

上一章的試驗(yàn)研究表明，鋼絲繩彈性聯(lián)抽器的本構(gòu)關(guān)系十分復(fù)雜，其恢復(fù)力是聯(lián)軸器動剛度和阻尼的函數(shù)，而動剛度和阻尼又是振幅和頻率的函數(shù)。因此，我們將依靠試驗(yàn)獲得的測量數(shù)據(jù)，在跡法和文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，深人研究聯(lián)軸器遲滯特性，建立聯(lián)軸器的數(shù)學(xué)模型。
由前面聯(lián)軸器位移一恢復(fù)力試驗(yàn)可知，遲滯回線可以分為上、下兩條，分別對應(yīng)于速度大于零和速度小于零。在鋼絲繩彈性元件性質(zhì)相同和安裝幾何對稱的情況下，上、下兩條恢復(fù)力曲線可以認(rèn)為是位移反對稱的。于是可以用冪函數(shù)多項(xiàng)式，按最小二乘法原理來擬合代表試驗(yàn)數(shù)據(jù)的上、下兩條恢復(fù)力曲線，設(shè)用于擬合上遲滯回線數(shù)據(jù)的冪函數(shù)多項(xiàng)式為：

根據(jù)反對稱，用于擬合下遲滯回線數(shù)據(jù)的冪函數(shù)多項(xiàng)式為：

式中，_H， 分別為聯(lián)軸器遲滯恢復(fù)力上、下曲線，x為位稱，a_i為冪函數(shù)多項(xiàng)式系數(shù)。

冪函數(shù)多項(xiàng)式所取項(xiàng)數(shù)n按擬合的遲滯回線形狀和對表達(dá)式要求的精度而定。將（3-1）和（3-2）式中冪函數(shù)多項(xiàng)式的奇、偶次項(xiàng)分開寫，可進(jìn)一步表示為：

經(jīng)以上數(shù)學(xué)處理，聯(lián)軸器的動態(tài)遲滯回線可以分解成₁（x）和 ₂（x， ）兩部分，即聯(lián)軸器的遲滯恢復(fù)力由兩部分組成。戒n取奇數(shù)。從幾何意義上講，第一部分為一條單值非線性函數(shù)曲線，第二部分為一條雙值的非線性閉合曲線。從物理意義上講，第一總值發(fā)代表遲滯恢復(fù)力中的非遲滯非線性彈性恢復(fù)力；第二部分代表遲滯恢復(fù)力中的純遲滯非線性阻尼力。

由試驗(yàn)知，聯(lián)軸器的遲滯恢復(fù)力不僅是位移x和速度的函數(shù)，而且還是振幅A和頻率ω的函數(shù)，因此識滯恢萬力的教學(xué)模形沒為：

        （3-7）

由此可見，遲滯恢復(fù)力的函數(shù)關(guān)系相當(dāng)復(fù)雜，

由試驗(yàn)還可以知道，頻率增大至一定值后動剛度和阻尼僅是振幅A的非線性函數(shù)，在這種情況下，遲滯恢復(fù)力的數(shù)學(xué)模型可表示為：

             （3-8）

由此，我們得到兩種形式的聯(lián)軸器恢復(fù)力數(shù)學(xué)模型，前者為考慮頻率影響的數(shù)學(xué)模型，后者為不考慮頻率影響的數(shù)學(xué)模型。

至此，盡管我們將遲滯恢復(fù)力擬合分解成了兩部分，但是_l和₂取什么樣的函數(shù)形式，仍然是一個(gè)難題。對此，分三步來研究。第一步先求出不同頻率和振幅下遲滯數(shù)據(jù)回線的擬合遲滯回線，得到對應(yīng)的各階離散的剛度系數(shù)值，以及遲滯阻尼耗能值；第二步再找出這些數(shù)值與頻率、振幅的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式，從而得到_l和₂的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式，第三步，通過參數(shù)辨識，尋找出_l和₂表達(dá)式中的各參數(shù)。

由遲滯回線的形狀可知，聯(lián)軸器具有強(qiáng)非線性的特性，為了在數(shù)學(xué)模型中反映出強(qiáng)非線性的特性，選9階幕函數(shù)多項(xiàng)式來擬合上、下遲滯回線（n=9)，對一定頻率和振幅的每一組試驗(yàn)遲滯回線數(shù)據(jù)，由線性最小二乘法原理一辨識對應(yīng)的各階擬合系數(shù)。對圖2-14中各遲滯回一數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，將所得的擬合遲滯回線與圖2-14的遲滯回線畫在一起，如圖3-1（a）所示，由此圖可知，兩者重合性很好。

為了說明5階和7階冪函數(shù)多項(xiàng)式擬合的精度情況，以振幅A=8毫米，頻率為1赫茲為例，畫出擬合回線分別如圖3-1（b）、3-1（c）所示，將它們與對應(yīng)試驗(yàn)回線圖3-1（d）比較，可知7階擬合精度高于5階。圖3-1（e）為圖3-1（b）與圖3-1（d）的合圖。

為了得到（3-6）式所示的_l，₂，將擬合得到的各冪函數(shù)多項(xiàng)式奇、偶次項(xiàng)分開寫成（3-5）式形式并作對應(yīng)的曲線圖，如圖3-2（見34頁）所示，它樣就將恢復(fù)力分解成了單值非線性函數(shù)曲線和雙值的非線性函數(shù)閉合曲線，由此得到了對應(yīng)的_l（x）和₂（x，）的若干組函數(shù)表達(dá)式：

式（3-9）中各系數(shù)a_2i-1實(shí)質(zhì)上代表聯(lián)軸器彈性恢復(fù)力在對應(yīng)頻率、振幅下的各階剛度系數(shù)。

3-3聯(lián)軸器數(shù)學(xué)建模

一、不考慮頻率影響的數(shù)學(xué)模型

由于聯(lián)軸器恢復(fù)力僅在一個(gè)小范圍內(nèi)受頻率的影響，當(dāng)頻率達(dá)到一定值后，聯(lián)軸器恢復(fù)力僅是振幅的函數(shù)，在這種情況下，數(shù)學(xué)模型的表達(dá)式為（3-8）式。下面分別研究_l和₂函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)形式。

1.非遲滯非線性彈性恢復(fù)力_l的數(shù)學(xué)模型

在不考慮頻率影響的情況下，聯(lián)軸器彈性恢復(fù)力，由以上分析，可以建立其數(shù)學(xué)模型如下：

式中K₁（A）--K_9­（A）是鋼絲繩聯(lián)軸器第一～九階彈簧剛度函數(shù)。

這樣的數(shù)學(xué)模型充分地考慮了高階非線性彈性力的影響。式中K_2i-1（A）僅是振幅的函數(shù)，其數(shù)學(xué)模型為：

（i=1，2，3，4，5）                                 （3-13）

式中n′根據(jù)精度要求而定。

2.遲滯非線性阻尼力₂的數(shù)學(xué)模型
由擬合遲滯回線分解圖3-2中各閉合曲線知，聯(lián)軸器中的阻尼成分非常復(fù)雜，有可能是多種阻尼的組合，根據(jù)聯(lián)軸器彈性元件變形及工作情況，可以認(rèn)為聯(lián)軸器阻尼含有粘性阻尼和干摩擦阻尼的成份較多，因此，在這種情況下我們建立以下二種阻尼力模型：

(1）復(fù)合型阻尼力模型

              （3-14）

式中第一項(xiàng)代表除粘性阻尼力和干摩擦力以外的其它阻尼力成份，系數(shù)a決定這些阻尼力所占比例，故定義為阻尼比例控制系數(shù)；第二項(xiàng)代表粘性阻尼力和干摩擦阻尼力綜合阻尼力成份，當(dāng)n=o時(shí)，這項(xiàng)為Csgn（），代表干摩擦阻尼力，當(dāng)n=1時(shí)，這項(xiàng)為C||sgn（），代表粘性阻尼力，當(dāng)n在（0，1）區(qū)間變化時(shí)，第二項(xiàng)代表的是粘性阻尼力和干摩擦阻尼力的混合阻尼力，系數(shù)n決定兩種阻尼各占份額多少，定義為粘摩阻尼分配系數(shù)。式中a₀,a₂，a₄，a₆，C,n和a均是振幅的函數(shù)。

(2）等效粘性阻尼力模型
用等效粘性阻尼來描述遲滯非線性阻尼，其恢復(fù)力構(gòu)建為：

₂=C（A，ω）                                    （3-15）

由于聯(lián)軸器阻尼成份的復(fù)雜性，以上建立的二種阻尼恢復(fù)力模型中哪一種用來描述聯(lián)軸器阻尼力更為合理，有待于參數(shù)辨識后才能確定。對于模型（3-14)，我們將先辨識出在不同振幅下模型中的各個(gè)參數(shù)，然后再找出這些參數(shù)與振幅的函數(shù)關(guān)系。對于模型（3-15)，我們將根據(jù)一個(gè)振動周期內(nèi)遲滯非線性阻尼所耗散的能量與等效粘性阻尼所消耗的能量相等的能量關(guān)系找出等效粘性阻尼函數(shù)C(A，ω）與振幅和頻率的關(guān)系。

二、考慮頻率影響的數(shù)學(xué)模型

在這種情況下，聯(lián)軸器的數(shù)學(xué)模型的表達(dá)式為（3-7）式，下面分別討論_l和₂函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)形式：

1.非遲滯非線性彈性恢復(fù)力_l的數(shù)學(xué)模型

由試驗(yàn)研究知道，聯(lián)軸器的彈性恢復(fù)力不僅是振幅的的函數(shù)而且還是頻率的函數(shù)，隨著頻率的增大，在一定頻率范圍內(nèi)，彈性恢復(fù)力逐漸減小，然后趨于一定值，根據(jù)這一特性，在建造彈性恢復(fù)力新的數(shù)學(xué)模型時(shí)，引進(jìn)一個(gè)能描述這一特性的指數(shù)函數(shù)項(xiàng)e^-flr（f），這樣，新構(gòu)建的彈性恢復(fù)力數(shù)學(xué)模型為：

同時(shí)，定義幾個(gè)新函數(shù)參數(shù)，a_2i-1（f）為剛度幅值頻率影響系數(shù)，它表示聯(lián)軸器彈性元件各階剛度的幅值受頻率變化影響的程度；β_2i-1（f）稱為剛度幅值頻率衰減系數(shù)，表示彈性元件各階剛度的幅值隨頻率增加的衰減程度；y_2i-1（f）稱為剛度頻率衰退減系數(shù)，表示彈性元件各階剛度隨頻率增加的衰減速率，y_2i-1（f）愈大，剛度值隨頻率減小的速度就愈慢，反之，則愈快。從理論上講，只有當(dāng)f值趨于無窮大時(shí)，exp{-f/[ y_2i-1（f）]}才趨于零，各階剛度 _2i-1（A，f）才趨于各自的定值K_2i-1（A）[a_2i-1（f）-β_2i-1（f）]。但事實(shí)上，由于指數(shù)曲線開始變化較大，而后逐漸緩慢，所以，實(shí)際上f達(dá)到一定值后，exp{-f/[ y_2i-1（f）]}已經(jīng)很小了，例如，設(shè)f=5 y_2i-1（f），這時(shí)有：

y_2i-1（f）= K_2i-1（A）[a_2i-1（f）-β_2i-1（f）（1-e^-5）]

= K_2i-1（A）[a_2i-1（f）-β_2i-1（f）×0.99326]                                （3-20）                                                                                                          

當(dāng)頻率f=8，10，…，30赫茲時(shí)，剛度不再隨頻率的變化而變化，由此可得y_2i-1（f）=1，6,2，…，6；a_2i-1（f）-β_2i-1（f）×0.99326=β_c，這些參數(shù)值和關(guān)系式在辨識（3-19）式中參數(shù)時(shí)，可作為已知條件應(yīng)用。
從以上分析可知，(3-18）式表示的數(shù)學(xué)模型能客觀地反映聯(lián)軸器彈性恢復(fù)力隨振幅和頻率變化的規(guī)律。

2.遲滯非線性阻尼力姚的數(shù)學(xué)模型
當(dāng)同時(shí)考慮振幅和頻率對遲滯阻尼力₂的影響時(shí)，₂將是振幅和頻率的函數(shù)，如果經(jīng)過參數(shù)辨識說明（3-14）形式的數(shù)學(xué)模型能合理地描述阻尼力，那么，在同時(shí)計(jì)及振幅和頻率對遲滯阻尼力姚的影響時(shí)，我們?nèi)越�立遲滯阻尼力的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式為（3-14）式的形式，不過其中各系數(shù)不僅是振幅A的函數(shù)而且還是頻率f的函數(shù)，建立的第二種數(shù)學(xué)模型仍以等效粘性阻尼來描述遲滯非線性阻尼，與(3-15）式所不同的是，在此建立聯(lián)軸器阻尼耗能的函數(shù)時(shí)，同時(shí)考慮聯(lián)軸器遲滯回線面積隨振幅A和頻率f變化的規(guī)律，而在建立（3-15）式時(shí)僅考慮聯(lián)軸器遲滯回線面積隨振幅A的變化規(guī)律。為了敘述方便，這些問題在參數(shù)辨識一節(jié)中討論。這樣，這二種阻尼力模型為：

結(jié)上所述，將（3-12）式與（3-18）式比較，將（3-14）～（3-15）式與（3-21）～（3-22）對應(yīng)式比較可知，后者同時(shí)考慮了振幅A和頻率f對聯(lián)軸器恢復(fù)力的影響，因而適用范圍較前者僅考慮振幅A的影響時(shí)更大，但后都數(shù)學(xué)表達(dá)式復(fù)雜，大大地增加了參數(shù)的辨識難度。由試驗(yàn)研究知，頻率變化為恢復(fù)力影響范圍較小，為了簡化計(jì)算用（3-12）和（3-14）～（3-15）較好。

3-4聯(lián)軸器數(shù)學(xué)模型參數(shù)辨識

本節(jié)將利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)上節(jié)建立的聯(lián)軸器恢復(fù)力數(shù)學(xué)模型的類型，分別選用線性參數(shù)辨識方法和非線性參數(shù)辨識方法，按最小二乘法原理，辨識聯(lián)軸器數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)，找出各參數(shù)與振幅和頻率的關(guān)系，得到聯(lián)軸器恢復(fù)力由彈性和阻尼力描述的函數(shù)關(guān)系式。

一、參數(shù)辨識的難點(diǎn)
聯(lián)軸器數(shù)學(xué)模型函數(shù)關(guān)系的復(fù)雜性以及函數(shù)關(guān)系式中參數(shù)的非線性都給參數(shù)辨識工作帶來困難。針對這些情況，對數(shù)學(xué)模型中某些參數(shù)隨振幅和頻率變化規(guī)律還不能給出表達(dá)式時(shí)，我們先求出這些模型在不同振幅和頻率下，各參數(shù)隨振幅和頻率變化的離散值，然后根據(jù)這些離散值隨振幅和頻率變化的規(guī)律，來定出函數(shù)表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)一步找出這些參數(shù)與振幅和頻率的函數(shù)關(guān)系，最后得到聯(lián)軸器恢復(fù)力與振幅、頻率、位移和速度的表達(dá)式。

二、參數(shù)辨識
1.辨識不考慮頻率影響數(shù)學(xué)模型的參數(shù)
不考慮頻率影響時(shí)聯(lián)軸器的數(shù)學(xué)模型為（3-12）～（3-15）式，

a.非線性彈性恢復(fù)力_l數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的辨識
此中情況下，_l的表達(dá)式為（3-12）和（3-13）式。由這兩式可知，模型中含有九階的高次非線性彈性力，其各階動剛度K_2i-1 (A）是振幅的函數(shù)，數(shù)學(xué)模型為一個(gè)n′階的冪函數(shù)多項(xiàng)式，K_2i-1 (A）是各參數(shù)b_0，2i-1～b_n，2i-1 (i=1,2，…，5）的線性函數(shù)。于是各階動剛度K_2i-1 (A）中各參數(shù)辨識可歸結(jié)以下最小二乘法問題：

已知K_2i-1 (A）是關(guān)于自變量X=[A，A²，…Aⁿ¹]^T和待定參數(shù)B=[ b_0，2i-1，b_1，2i-1，…，b_{n′，2i-1}]^T的形式已知的函數(shù)（3-13)，簡寫成：

 K_2i-1 (A）=f（X，B）                （3-23）

今給出（X，K_2i-1 ）的n對試驗(yàn)值：

（X_K，K_2i-1，K）     （k=1，2，…，n）    （3-24）

要求確定參數(shù)B使

得一組線性方程組，在n>k的情況下，聯(lián)立求解這一線性方程組即可求得唯一的一組B值。根據(jù)此法求得（3-13）式中參數(shù)值并代回可得:

將（3-27）式中剛度函數(shù)作成曲線如圖3-3(a）-（e）所示，由一階動剛度函數(shù)圖3-3(a）可知，振幅在lmm～2mm范圍內(nèi)時(shí)，動剛度隨振幅增大而增大，呈硬特性；當(dāng)振幅在2mm～7mm范圍內(nèi)時(shí)，動剛度隨振幅增大而減小，呈軟特性；當(dāng)振幅在7mm～8mm范圍時(shí)，動剛度隨振幅增大略有回升。由此圖可知，在聯(lián)軸器初始小振幅和極限振幅附近范圍內(nèi)，動剛度呈硬特性，而在中間振幅范圍內(nèi)呈軟特性。K₅（A）和K₉（A）也具有類似的特性。而K₃（A）和K₇（A）在小振幅時(shí)呈軟特性，這樣的動剛度特性滿足船舶緩沖減振降噪的要求，即在一般低能量風(fēng)浪流作用下，該聯(lián)軸器鋼絲繩元件的變形小，動剛度大，呈硬特性，這能保證船舶推進(jìn)軸系的基頻高于風(fēng)浪流的顯著能量頻率；在大能量風(fēng)浪流和沖擊作用下時(shí)，聯(lián)軸器由于載荷增大而變形增大，這種情況下動剛度軟化，使船舶推進(jìn)軸系頻率變小，向遠(yuǎn)離大能量風(fēng)浪流和沖擊顯著能量頻率一側(cè)偏移，在遲滯阻尼下耗散能量，使軸系沖擊振動響應(yīng)降低。由（3-27）式和（3-12）式可作出相應(yīng)的彈性恢復(fù)力單值曲線如圖3-4所示。將圖3-4中代表彈性恢復(fù)力的單值曲線與圖3-2中的單值曲線比較可知，(3-12）式能較好地描述聯(lián)軸器彈性恢復(fù)力隨振幅變化的規(guī)律。

b.非線性阻尼力數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的辨識

此情況下，建立了二種數(shù)學(xué)模型（3-14）式和（3-15）式。對于（3-14）式描述的模型，₂是參數(shù)n的非線性函數(shù)，因此，在進(jìn)行參數(shù)辨識時(shí)，需要用非線性參數(shù)的辨識方法。此時(shí)，這種模型中各參數(shù)的辨識可歸結(jié)為如下的最小二乘法問題：

已知₂是關(guān)于自變量X=[x₁，x₂，…，s_p]^T和待定參數(shù)B=[b₁，b₂，…，b_m]^T的形式已知函數(shù)（3-14）式，簡寫成：

₂=f（X，B）                            （3-28）

對于給定的n組試驗(yàn)數(shù)據(jù)值（X_k，_2k），要求確定參數(shù)B使

為最小。對于這種非線性參數(shù)識別，很難直接進(jìn)行求解，通常采用逐次逼近的方法處理，在此采用高斯-牛頓法來辨識。高斯-牛頓法的基本思想是：先給出各參數(shù)b_i的一個(gè)初始值，記為           ，初值與真值之差為△_i，即有：

b_i=           +△_i             （i=1，2，…，m）                           （3-30）

這樣，確定b_i，在鄰域內(nèi)將函數(shù)f（X，B）作代臺勞級數(shù)展開，并略去△_i的二次及二次以上項(xiàng)得：

當(dāng)         給定時(shí)，f_ko和f_ko/b_i都是自變量X的函數(shù)，可直接算出，將（3-31）式代入（3-29）得：

由多元函靈敏極值存在的必要條件：

得以△_i為未知量的一組m個(gè)聯(lián)立方程組

當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)值（X_k，_2k），（k=1，2，…，m）給定后，系數(shù)a_ij及均可算出，因此由方程組可解出△_i，進(jìn)而得b_i­的值。當(dāng)算出的|△₁ |值較大的時(shí)，可令當(dāng)前的b_i值代替原來的初始近似值，重復(fù)計(jì)算a_ij，，并解方程組（3-36）得新的△_i，進(jìn)而得b_i。這種過程可以重復(fù)進(jìn)行，直至|△_i |的值小到給定的精度為止。

對于非線性參數(shù)辨識問題，并在不于迭代工作量有多大，而是在迭代逼近過程中是否收斂，即迭代過程有可能不按上述方式完成，出現(xiàn)計(jì)算溢出，方程組系數(shù)矩陣病態(tài)等毛�。�出現(xiàn)這些問題的原因大致有三種：一是逼近試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)（X_k，_2k）的數(shù)學(xué)模型假設(shè)與數(shù)據(jù)點(diǎn)甚遠(yuǎn)，在這種情況下，必然重新分析系統(tǒng)的內(nèi)在機(jī)理，建立符合系統(tǒng)特性的新數(shù)學(xué)模型；另一種是初值選得不好，臺勞級數(shù)展開式完全失真，迭代得到的新b_i有可能比原來的更遠(yuǎn)離真解，且越迭代越糟糕，最后發(fā)散，在這種情況下，迭代是否收斂，關(guān)鍵在于初值的選擇；第三種是參數(shù)辨識的算法不適合或?qū)Τ踔颠x取的要求太高，在這種情況下，需選擇更合適的算法或選擇對初值選取要求較低的算法。
按照以上算法，編制了計(jì)算機(jī)軟件對（3-14）模型中的參數(shù)進(jìn)行了辨識，結(jié)果討論如下：
對（3-14）模型，用不同振幅下聯(lián)軸器試驗(yàn)數(shù)據(jù)中代表阻尼力的數(shù)據(jù)來進(jìn)行參數(shù)辨識，辨識結(jié)果是迭代計(jì)算不收斂，分析其原因，我們認(rèn)為，一是因?yàn)樾璞孀R的參數(shù)較多，初始值不易選得與真值較接近，致使迭代不成功；二是此算法可能不適合此模型的參數(shù)辨識。因此，有待于尋找能辨識數(shù)學(xué)模型表達(dá)式中參數(shù)的新的有效辨識方法。
第二種模型是（3-15）式，在這種情況下，用阻尼耗能的能量關(guān)系來辨識阻尼力與振幅等參數(shù)的關(guān)系。由圖3-1可知，聯(lián)軸器每振動一周所消耗的能量，即遲滯回線的面積S是振幅A的函數(shù)。由數(shù)值積分，可以算出各振幅變化時(shí)遲滯回線面積，由此可得遲滯回線面積與振幅的一一對應(yīng)關(guān)系，將這些一一對應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)畫成圖，如圖3-5中大圓點(diǎn)曲線所示，由此分析遲滯回線面積隨振幅變化的規(guī)律，可建立其函數(shù)關(guān)系為：

S_ga（A）=a_sA^bs                             （3-38）

式中a_s和b_s為待辨識參數(shù)。由（3-38）可知，面積是參數(shù)b_s的非線性函數(shù)，參數(shù)辨識時(shí)用非線性參數(shù)辨識方法，高斯一牛頓法，辨識結(jié)果為a_s=2.56969，b_s=1.62309，代回（3-38）式并畫出曲線如圖3-5中小點(diǎn)曲線所示。由此可以看出，(3-38）式能較好地描述遲滯回線面積（即聯(lián)軸器阻尼耗能）隨振幅變化的規(guī)律．在用等效粘性阻尼來代替遲滯非線性阻尼的情況下，在具有相同振幅的正弦振動時(shí)，每周由等效粘性阻尼力耗散的能量為：

因?yàn)?/SPAN>S_ga=W_e，由（3-38）與（3-39）可得聯(lián)軸器阻尼函數(shù)C（A，ω）：

將（3-40）式代入（3-15）式得聯(lián)軸器阻尼力模型：

值得注意的是此阻尼力模型的參數(shù)辨識是在研究阻尼耗能過程中，僅考慮振幅對耗能的影響下得出的，而沒有考慮頻率對耗能的影響，式中頻率項(xiàng)的出現(xiàn)是由于用等效粘性阻尼代替遲滯非線性阻尼所致。將（3-41）式畫成曲線得圖3-4中每橢圓，與圖3-2中的閉合曲線相比較可知（3-41）式較好地描述了遲滯非線性阻尼力。將（3-11）、（3-27）和（3-41）式代人（3-8）式即，得聯(lián)軸器恢復(fù)力數(shù)學(xué)模型的函數(shù)表達(dá)式。

2.辨識考慮頻率影響數(shù)學(xué)模型的參數(shù)
考慮頻率影響時(shí)聯(lián)軸器的數(shù)學(xué)模型為（3-17）-（3-22）式。

a.非線性彈性恢復(fù)力Ql數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的辨識
此情況下，₁的表達(dá)式為（3-18）-（3-19）式，由于數(shù)學(xué)模型中參數(shù)辨識的復(fù)雜性以及待辨識參數(shù)的非線性性，在辨識過程中，先辨識出在不同振幅和頻率下模型中的各參數(shù)a_2i-1，β_2i-1和y_2i-1，然后根據(jù)這些參數(shù)離散散值隨頻率變化的規(guī)律，建立它們與頻率之間的函數(shù)關(guān)系，再辨識這些函數(shù)關(guān)系式中的各參數(shù)，從而得到a_2i-1 (f)，β_2i-1（f）和y_2i-1 (f）的函數(shù)表達(dá)式，最后得到動剛度 _2i-1（A，f）隨頻率和振幅變化的數(shù)學(xué)模型和彈性恢復(fù)力教學(xué)模型。

我們用高斯-牛頓法的最小二乘法來辨識，辨識結(jié)果是迭代計(jì)算不收斂，分析原因認(rèn)為：迭代計(jì)算不收斂，一是初值選擇不合理，二是此算法對初值要求太高。盡管如此，但根據(jù)對聯(lián)軸器非線性彈性恢復(fù)力隨頻率變化的規(guī)律分析，我們?nèi)哉J(rèn)為用（3-18）式來描述聯(lián)軸器彈性恢復(fù)力_l=（x,A，ω）是客觀的和合理的，式中未知參數(shù)的辨識有待于尋找新的有效的辨識算法。

b.非線性阻尼力烏數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的辨識

此情況下，建立的數(shù)學(xué)模型為（3-21）-（3-22）式。對（3-21）式，辨識所用方法和試驗(yàn)數(shù)據(jù)與辨識（3-14）式相同，所得結(jié)果是迭代計(jì)算不收斂，究其原因, 認(rèn)為是所用辨識算法不適合此模型的參數(shù)辨識，同時(shí)此算法對初值的要求比較高。

為了解決以上未決的參數(shù)辨識問題，我們又用了一種算法，Marquardt算法對（3-14）、（3-18）和（3-21）模型進(jìn)行了參數(shù)辨識，迭代計(jì)算仍不收斂。為了解決這一問題有待進(jìn)一步尋找有效的辨識算法。

對于（3-22)模型，我們用阻尼耗能的能量關(guān)系來辨識阻尼力與振幅和頻率的關(guān)系。在前面，遲滯回線面積（即阻尼耗能）與振幅的函數(shù)關(guān)系已建立起來，見（3-38）式，而且式中參數(shù)也已辨識出。同樣，用數(shù)值積分，可以算出振幅一定，頻率變化時(shí)遲滯回線的面積，由此得出遲滯回線面積與頻率的對應(yīng)關(guān)系，將這些對應(yīng)關(guān)系畫成曲線如圖3-6中大圓點(diǎn)曲線所示。由遲滯回線面積隨頻率變化的規(guī)律分析，可建立其函數(shù)關(guān)系為：

S_gf（f）=a_ff^bf                              （3-42）

式中a_f和b_f為待辨識參數(shù)。由此式知，面積是參數(shù)務(wù)的非線性函數(shù)，用高斯-牛頓法辨識得a_f=3.40234,b_f=-0.0684433，代回（3-42）式并畫曲線如圖3-6中小點(diǎn)曲線所示。由此可知，(3-42）式能較好地描述遲滯回線面積隨頻率變化的規(guī)律，阻尼耗散的能量隨頻率的增大而減小。綜合考慮（3-38）和（3-42）式中阻尼耗散的能量隨振幅和頻率變化的規(guī)律可知，阻尼耗能隨振幅的增大而增大，隨頻率的增大而減小，由此可建立聯(lián)軸器阻尼耗能（即遲滯回線面積）隨振幅A、頻率f變化的數(shù)學(xué)模型如下：

式中a_g,P,q為待定參數(shù)。由此式可知，聯(lián)軸器阻尼耗能是振幅和頻率的非線性函數(shù)也是參數(shù)p,q的非線性函數(shù)。在辨識時(shí)，采用高斯-牛頓法。根據(jù)（3-38）、(3-42）兩式及其參數(shù)，可知（3-43）中a_g參數(shù)的變化域在（2.56969,3.40234）內(nèi)，q值在1.62309附近，而p值大約在0.068443附近，據(jù)此分析，三個(gè)參數(shù)的初值分別選為：
               =3.0，q⁽⁰⁾=1.0，p^（0)＝0.1

將這三個(gè)初值輸人程序進(jìn)行運(yùn)算，一次計(jì)算成功，三個(gè)參數(shù)值為：

a_g=3.382818，q=1.451636，p=0.06649397             (3-44)

將這些參數(shù)代人（3-43）式即得聯(lián)軸器阻尼耗能隨振幅和頻率變化的函數(shù)關(guān)系式。
根據(jù)等效原理（3-34）式和S_g=W_e以及（3-44) 式可得等效粘性阻尼函數(shù)為：

將（3-44）、（3-45）式代入（3-22）式得阻尼力數(shù)學(xué)模型為

作出（3-46）式的曲線圖如圖3-7中橢圓所示，將圖3-7中橢圓與圖3-4中對應(yīng)橢圓相比較可知，式（3-46）能較好地描述非線性遲滯阻尼力。

3-5關(guān)于聯(lián)軸器建模與參數(shù)辨識的進(jìn)一步研究
一、數(shù)學(xué)建模與參數(shù)辨識

在對前面關(guān)于聯(lián)軸器建模與參數(shù)辨識工作進(jìn)行思考和對聯(lián)軸器試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步深人分析后，提出聯(lián)軸器恢復(fù)力數(shù)學(xué)模型新表達(dá)式：

即恢復(fù)力(A,f,x， ）是振幅A、激勵(lì)頻率f、瞬態(tài)位移x和瞬態(tài)速度 的函數(shù)，或者說恢復(fù)力Q是剛度函數(shù)K₁（A），K₃（A），K₅（A）和阻尼函數(shù)C(A,f）以及阻尼成分函數(shù)n(A,f）的函數(shù)，其中阻尼成分函數(shù)n(A,f）描述阻尼的組成情況，n（A,f）=0時(shí)，阻尼為干摩擦阻尼，n(A,f)=1時(shí)，為粘性阻尼，0＜n（A,f)<1時(shí)，阻尼由粘性阻尼和干摩擦阻尼組成，n（A,f)>1時(shí)，阻尼成為“高階”阻尼。對于（3-47)式，當(dāng)振幅與頻率一定時(shí)，式中的K_l（A），K₃（A)，K₅（A）和n（A,f）均為定數(shù)，當(dāng)振幅A和頻率變化時(shí)，它們均是函數(shù)，因此參數(shù)辨識實(shí)質(zhì)上是參數(shù)函數(shù)的辨識。首先我們用非線性參數(shù)辨識方法Marquardt法，根據(jù)試驗(yàn)所得的數(shù)據(jù)，按照（3-47）式對每一遲滯回線進(jìn)行參數(shù)辨識，可以得到對應(yīng)的K₁（A)，K₃（A），K₅（A),C(A,f)和n（A,f）值，對每種工況下的數(shù)據(jù)隨振幅和頻率變化趨勢進(jìn)行分析后，可以建立剛度函數(shù)、阻尼函數(shù)和阻尼成份函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

然后用線性參數(shù)辨識法和非線性參數(shù)辨識法，根據(jù)上面已經(jīng)得到的各個(gè)工況下K₁（A)，K₃（A），K₅（A),C(A,f)和n（A,f）的數(shù)值對（3-48）、（3-49）、（3-50）式中各參數(shù)進(jìn)行辨識，將辨識得到各參數(shù)代入（3-48）、（3-49）和（3-50）式得：

關(guān)于K₅（A)的辨識采用以下方法：

當(dāng)位移x達(dá)到最大值A時(shí)，聯(lián)軸器恢復(fù)力Q達(dá)到最大值，彈性恢復(fù)力也達(dá)最大值，此時(shí)有：

式中K₁（A)，K₃（A）已求得。由試難遲滯回線恢復(fù)力最大值與振幅的數(shù)據(jù)，可辨識出（3-56）式的                      為：

            （A）=-5.16965×10^-5A⁷+2.21538×0.0241174A⁵--0.375207A⁴+2.55596A³-8.88624A²+8.37136            （3-57）

將（3-51)、(3-52）和（3-57）式代人（3-56）即求得K₅（A)。至此，(3-47）式中的各參數(shù)函數(shù)已全部辨識出。將這些參數(shù)代入(3-47）式就得到聯(lián)軸器恢復(fù)力數(shù)學(xué)模型。

二、結(jié)果分析與比較
由數(shù)學(xué)模型（3-47) 計(jì)算可以得到不同激勵(lì)頻率和振幅下聯(lián)軸器恢復(fù)力遲滯回線數(shù)據(jù)，為了證實(shí)（3-47）的正砷性，下面畫出頻率為1赫茲、振幅為1～8毫米各工況下數(shù)學(xué)模型計(jì)算的理論數(shù)據(jù)和試驗(yàn)數(shù)據(jù)表示的遲滯回線圖，如圖(3-8)(a）～（h)（見51～52頁）所示，圖中虛線為理論回線，實(shí)線為試驗(yàn)遲滯回線。從圖中可知，理論遲滯回線十分接近試驗(yàn)遲滯回線，由此可以說明建立的聯(lián)軸器數(shù)學(xué)模型（3-47）式可較好地描述恢復(fù)力隨振幅A頻率f、瞬時(shí)位移x和速度分變化的規(guī)律，較圓滿地解決了聯(lián)軸器恢復(fù)力建模與參數(shù)函數(shù)辨識的難題。

為了進(jìn)一步分析聯(lián)軸器的阻尼特性并與用擬合分析解法和阻尼等效原理建立的數(shù)學(xué)模型（3-12）、（3-13）、（3-14）作比較，畫出由數(shù)學(xué)模型（3-47）式分別描述的彈生恢復(fù)力₁和阻尼力₂的曲線圖，如圖（3-9）（a）～（h）所示，圖中單值曲線為彈性恢復(fù)力₁。雙值閉合曲線為阻尼力₂。

(1).從圖3-9(a）-（h）中可以看到：雙值閉合曲線的形狀隨振幅的增大，從橄欖形變成橢圓形，再變成棒槌形。說明聯(lián)軸器的阻尼成分不是單一的，而是多種阻尼的組合，這些阻尼在不同的振幅下出現(xiàn)的大小比例不同，振幅為1毫米時(shí)，見圖3-9(a）圖，“高次”阻尼成分較多，而干摩擦阻尼和粘性阻尼成分較少，這時(shí)阻尼力閉合曲線的形狀呈橄欖形，這是因?yàn)檎穹�較小時(shí)，聯(lián)軸器彈性元件中的鋼絲繩股與股之間所受的力和位移都較小，還沒有產(chǎn)生相對滑移。隨著彈性元件受力增加、位移增加，鋼絲繩股與股之間的摩擦力增大，局部出現(xiàn)滑移，這種狀態(tài)下，聯(lián)軸器的阻尼成分以粘性阻尼為主，摩擦阻尼次之，閉合曲線，即阻尼力曲線的形狀呈橢圓形，振幅為2-4毫米。見圖（3-9)(b）～（d)，隨著聯(lián)軸器受力的進(jìn)一步增大，位移隨之增加，鋼絲繩股與股之間出現(xiàn)大的相對滑移，阻尼力曲線的形狀呈棒縋形，介于橢圓與矩形之間，但更加接近矩形，這說明此種情況下，聯(lián)軸器的阻尼成分以干摩擦阻尼為主，粘性阻尼為次，振幅介于5-8毫米之間，見圖（3-9)(e）～（h)。
(2).表3-1列出阻尼成分函數(shù)n（A,f）在1赫茲時(shí)，隨振幅變化的數(shù)值，對應(yīng)于圖3-9中各閉合曲線。
從表中可以看出，當(dāng)n（A,f)>1時(shí)，阻尼成分以“高次”阻尼為主，阻尼力曲線呈橄攬形；當(dāng)0.6<n(A,f)<l時(shí)，阻尼成分以粘性阻尼為主，阻尼力曲線呈橢圓形；當(dāng)0＜n（A,f)＜0.6時(shí)，阻尼成分以干摩擦為主，粘性阻尼次之，阻尼力呈棒縋形；當(dāng)n(A,f)=0時(shí)，阻尼成分將變成純粹的干摩擦，由n（A,f）的值變化可知，產(chǎn)生這種情況的可能性很小。由此可以知道，阻尼成分函數(shù)n(A,f)控制阻尼力曲線的形狀。

（3）.從圖3～9中各圖可知：阻尼力的大小隨振動位移x變化而變化，實(shí)質(zhì)上阻尼力的大小隨振動速度 的大小變化。在x等于零時(shí)，速度 最大，所以，阻尼力的絕對值達(dá)到最大，在位移x為振幅值A時(shí)，速度為零，阻尼力零。

（4）.表3-2列出阻尼函數(shù)C（A,f）在1赫茲時(shí)，隨振幅變化的數(shù)值，對應(yīng)于圖3-9中各閉合曲線。從表中可知：隨著振幅A的增大，阻尼函數(shù)隨之增大，這說明了聯(lián)軸器的阻尼耗能隨振幅增大而增大的原因。

表3-1 阻尼成分函數(shù)n(A,f)控制阻尼力曲線的形狀。

表3-2  阻尼函數(shù)C（A,f）隨振幅A變化表

將數(shù)學(xué)模型（3-57）與數(shù)學(xué)模型（3-12）、（3-13）、（3-41）進(jìn)行比較，可知：

（1）.數(shù)學(xué)模型（3-57）中的彈性恢復(fù)力模型中有三個(gè)剛度函數(shù)，而數(shù)學(xué)模型（3-12）中的彈性恢復(fù)力模型中有五個(gè)剛度函數(shù)，因此前者較后者簡單，但精度不如后者。

（2）.數(shù)學(xué)模型（3-57）中的阻尼力中由于引入了阻尼成分函數(shù)n（A,f），因而該阻尼力模型能揭示聯(lián)軸器阻尼成分的組成和變化規(guī)律；而數(shù)學(xué)模型（3-41）中的阻力模型是在阻尼等效原理的基礎(chǔ)上建立起來的，因而不能描述聯(lián)軸器中復(fù)雜的阻尼成分。由此可見數(shù)學(xué)模型（3-57）和數(shù)學(xué)模型（3-12）（3-13）（3-41）各自有自己的優(yōu)點(diǎn)和不足，后者能較好地描述動剛度，前者能較好地描述阻尼。

（3）.數(shù)學(xué)模型（3-57）在參數(shù)辨識時(shí)，采用的方法是整體辨識法，即將聯(lián)軸器的彈性恢復(fù)力和阻尼力中的各未知參數(shù)放在一起進(jìn)行辨識，由于一次需辨識的參數(shù)較多。若再考慮K₇（A)，K₉（A），將使辨識難度大大增加，故在（3-57)模型中只考慮了K₁（A)，K₃（A)，K₅（A）。而數(shù)學(xué)模型（3-12）（3-13）(3一41）的參數(shù)辨識，采取的方法是擬合分解法，即將聯(lián)軸器的恢復(fù)力分解成彈性恢復(fù)力和阻尼力兩個(gè)式子，分別對其未知參數(shù)進(jìn)行辨識。

在后面的幾章中，為了計(jì)算簡便些，將采用數(shù)學(xué)模型（3-12)(3-41)。
3-6小結(jié)

本章在鋼絲繩彈性聯(lián)軸器振動試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理的基礎(chǔ)上，圍繞聯(lián)軸器的建模和參數(shù)辨識作了以下工作：

(1）在Ko等人工作的基礎(chǔ)上，發(fā)展了一種用于非線性遲滯特性系統(tǒng)研究的擬合分解法。用此法將聯(lián)軸器非線性恢復(fù)力遲滯回線擬合分解成兩部分：非遲滯非線性彈性恢復(fù)力和純遲滯非線性阻尼力，為分別研究非線性彈性恢復(fù)力和非線性阻尼力的特性創(chuàng)造條件，并將Ko法只能辨識三個(gè)階次動剛度的方法發(fā)展為能辨識五個(gè)或更多個(gè)階次動剛度，為描述大位移強(qiáng)非線性的遲滯特性提供了可行的方法。

(2）針對聯(lián)軸器動剛度和阻尼是振幅和頻率的非線性函數(shù)，但當(dāng)頻率增大到一定值后，動剛度和阻尼僅為振幅的非線性函數(shù)的特點(diǎn)，分別提出了不受頻率影響和受頻率影響的非線性彈性恢復(fù)力數(shù)學(xué)模型和非線性阻尼力模型（3-11）、(3-14）式和（3-18）、(3-21）式。根據(jù)對聯(lián)軸器非線性遲滯回線隨振幅和頻率變化規(guī)律的分析，認(rèn)為提出的數(shù)學(xué)模型能較合理和客觀地描述非線性彈性恢復(fù)力和阻尼力的變化規(guī)律。
(3）研究了聯(lián)軸器阻尼耗能特性，提出了阻．尼耗能僅受振幅影響和同時(shí)受振幅與頻率影響的數(shù)學(xué)模型（3-38）和（3-43）式。在對聯(lián)軸器非線性遲滯回線面積（即阻尼耗能）進(jìn)行數(shù)值積分的基礎(chǔ)上，經(jīng)過非線性參數(shù)辨識，得出了(3-38）和（3-43）模型中的各參數(shù)。從而得到了聯(lián)軸器阻尼耗能隨振幅的增大而增大，隨頻率的增大而減小的函數(shù)關(guān)系式。
(4）以聯(lián)軸器非線性阻尼耗能研究為基礎(chǔ)，根據(jù)阻尼等效原理，研究并建立了聯(lián)軸器阻尼僅受振幅影響和同時(shí)受振幅和頻率影響的數(shù)學(xué)模型（3-40）和(3-45)，經(jīng)過參數(shù)辨識得出了模型中的各參數(shù)，由此弄清楚了聯(lián)軸器阻尼隨頻率和振幅變化的規(guī)律，在此基礎(chǔ)上，建立了聯(lián)軸器非線性阻尼力的數(shù)學(xué)模型（3-41）和（3-46）式。
(5）對不受頻率影響的非線性彈性恢復(fù)力數(shù)學(xué)模型（3-11）式中的參數(shù)進(jìn)行辨識，得出了五個(gè)動剛度函數(shù)的表達(dá)式（3-27)，分析表明，聯(lián)軸器的動剛度具有剛度軟化的特性，這一特性對防沖減振降噪有利。
(6）對不受頻率影響的非線性阻尼力數(shù)學(xué)模型（3-14）式和受頻率影響的非線性彈性恢復(fù)力數(shù)學(xué)模型（3-18）及（3-21）式進(jìn)行了辨識，由于辨識算法的不合適，未能辨識出各參數(shù)，為了解決此辨識問題，有待于尋找新的和有效的辨識算法。對聯(lián)軸器非線性遲滯特性的分析后，仍認(rèn)為（3-14）、（3-18）和（3-21）式能合理地描述聯(lián)軸器非線性彈性恢復(fù)力和阻尼力。由于頻率影響范圍很小，在實(shí)際計(jì)算中，用非線性彈性恢復(fù)力數(shù)學(xué)模型（3-11）、(3-27）式和非線性阻尼力數(shù)學(xué)模型（3-41）是完全可行的。
(7）對聯(lián)軸器試驗(yàn)結(jié)果和前面關(guān)于聯(lián)軸器建模與參數(shù)辨識工作進(jìn)行進(jìn)一步深人分析后，提出了聯(lián)軸器恢復(fù)力新數(shù)學(xué)模型（3-47)，采取未知參數(shù)整體辨識法，用Marquardt非線性參數(shù)辨識方法，成功地辨識出了式（3一47）中各參數(shù)。模型（3-47）的優(yōu)點(diǎn)是阻尼成分函數(shù)n(A,f）的引人使得它能全面地揭示聯(lián)軸器中的阻尼情況。