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推桿減速器的結(jié)構(gòu)分析與齒形綜合

本章根據(jù)推桿減速器的結(jié)構(gòu)特征，找出了推桿內(nèi)外滾子工作角之間的關(guān)系。這種關(guān)系不僅適用于激波器廓形為偏心圓的單激波推桿減速器結(jié)構(gòu)，而且也適用于激波器廓形為非圓弧曲線的多激波推桿減速器。利用內(nèi)外滾子工作角之間的關(guān)粵和法向等距線的幾何性質(zhì)，首次分析研究了激波器廓形為任意形狀非圓弧曲線的多激波推桿減速器的齒廓形成理論，與傳統(tǒng)的包絡(luò)法相比，具有概念清晰，所得公式形式簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，通過實(shí)例計(jì)算，證明了激波器為偏心圓的推桿減速器，其內(nèi)齒圈齒廓曲線不是擺線這一重要結(jié)論。

2.1推桿減速器的結(jié)構(gòu)及傳動(dòng)比計(jì)算

推桿減速器的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2.1所示，它由四個(gè)部分組成：

1.激波器J    由輸入軸1、偏心套2、轉(zhuǎn)臂軸承3所組成。為平衡激波器所產(chǎn)生的慣性力和抵消激波器上的徑向力，一般采用雙排結(jié)構(gòu)，并使它們的相位差為180°。

2.傳動(dòng)圈C    傳動(dòng)圈是一個(gè)具有雙排等分槽的構(gòu)件，它與輸出軸固聯(lián)。

3.裝有內(nèi)外滾子的推桿   內(nèi)外滾子一般是短圓柱滾子。

4.內(nèi)齒圈N   內(nèi)齒圈的齒形是與運(yùn)動(dòng)的推桿外滾子相共軛的曲線。與激波器對(duì)應(yīng)，采用兩個(gè)完全相同的內(nèi)齒圈互成180°布置。
推桿減速器的工作原理為：當(dāng)驅(qū)動(dòng)力矩由輸入軸輸入后，它以等角速度、轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)偏心圓激波器繞固定中心。轉(zhuǎn)動(dòng)，由于偏心圓激波器徑向尺寸的變化，激波器產(chǎn)生徑向推力，推動(dòng)著推桿在傳動(dòng)圈的徑向?qū)Р蹆?nèi)向外移動(dòng)。推桿的徑向運(yùn)動(dòng)受到固定于機(jī)座上的剛性內(nèi)齒圈的約束，作用于推桿外滾子上的約束反力迫使推桿驅(qū)動(dòng)具有導(dǎo)槽的傳動(dòng)圈以等角速度ω_C轉(zhuǎn)動(dòng)，于是實(shí)現(xiàn)了定速比的速度變換及功率的傳遞。
在推桿減速器中，設(shè)激波器按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則傳動(dòng)圈C，內(nèi)齒圈N的轉(zhuǎn)向可能與激波器相同，也可能相反（圖2.2）。為了研究問題的方便，本文中稱傳動(dòng)圈與主動(dòng)件激波器轉(zhuǎn)向相同的結(jié)構(gòu)為正向結(jié)構(gòu)（圖2.2（a）)，稱傳動(dòng)圈與激波器轉(zhuǎn)向相反的結(jié)構(gòu)為反向結(jié)構(gòu)（圖2.2(b))。

推桿減速器的正反向結(jié)構(gòu)形式完全取決于內(nèi)齒圈N的齒數(shù)Z_N、理論推桿數(shù)Z_C以及激波器J的激波數(shù)Z_J。

對(duì)單激波來(lái)說(shuō)，當(dāng)理論推桿數(shù)Z_C比內(nèi)齒圈齒數(shù)Z_N多1（即Z_C­=Z_N+l）時(shí)，推桿減速器為正向結(jié)構(gòu)（如圖2.1(b）所示）。而當(dāng)推桿數(shù)Z_C比內(nèi)齒圈齒數(shù)Z_N少l（即Z_C=Z_N-1）時(shí)，推桿減速器是反向結(jié)構(gòu)（如圖1.5所示）。當(dāng)推桿數(shù)Z_C等于內(nèi)齒圈齒數(shù)Z_N時(shí)，機(jī)構(gòu)不能工作，而當(dāng)推桿數(shù)Z_C與內(nèi)齒圈齒數(shù)Z_N之差在1以上（即Z_C>Z_N+1或Z_C<Z_N-1）時(shí)，機(jī)械也不能工作。

類似分析可得出結(jié)論：對(duì)于多激波推桿減速器，要使機(jī)構(gòu)能夠工作，齒數(shù)關(guān)系必須滿足：

                          Z_C=Z_N±Z_J                                     （2.1）

并且Z_N應(yīng)是Z_J的整數(shù)倍。當(dāng)式（2.1）取“+ ”號(hào)時(shí)，推桿減速器為正向結(jié)構(gòu)，取“一”號(hào)時(shí)為反向結(jié)構(gòu)。

固定激波器J、傳動(dòng)圈C、內(nèi)齒圈N這三個(gè)構(gòu)件中的任何一個(gè)，而其余兩個(gè)構(gòu)件的角速度之比稱為這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件的傳動(dòng)比。傳動(dòng)比用i表示，并用下標(biāo)表明相應(yīng)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件及其主從關(guān)系。如i_CN表示激波器J固定時(shí)，傳動(dòng)圈C的角度速度與內(nèi)齒圈N的角速度之比值。當(dāng)這兩個(gè)角度速成方向一致時(shí)，傳動(dòng)比取正值，反之傳動(dòng)比取負(fù)值。

利用行星齒輪傳動(dòng)中確定傳動(dòng)比的相對(duì)角速度法，很容易得到各種運(yùn)動(dòng)形式的傳動(dòng)比，如表2.1表示。

上面所說(shuō)的推桿數(shù)Z_C是理論上的推桿數(shù)，在工程實(shí)際中，當(dāng)推桿減速器要實(shí)現(xiàn)的的傳動(dòng)比較大時(shí)，在傳動(dòng)圈的圓周上不能夠開出理論推桿數(shù)Z_C那么多的導(dǎo)槽，常采用“抽桿”技術(shù)，即每隔一定的間隙，抽掉一個(gè)或幾個(gè)推桿，抽桿后當(dāng)然不能影響整個(gè)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)及傳動(dòng)比。

抽桿后，機(jī)構(gòu)的實(shí)際推桿數(shù) 要小于理論推桿數(shù)Z_C。為了保證抽桿后受力均衡，要求抽桿是均勻的，抽桿前后推桿都是均布的。設(shè)n為每隔一個(gè)推桿所抽掉的推桿數(shù)，則實(shí)際推桿數(shù) 與理論推桿數(shù)Z_C的關(guān)系應(yīng)為：

從推桿減速器的結(jié)構(gòu)及工作原理可以看出，由于激波器采用了滾動(dòng)軸承，使得與內(nèi)滾子相嚙合接觸的激波器外環(huán)在工作過程中只是擺蕩，從而減小了與內(nèi)滾子相嚙合時(shí)的滑動(dòng)摩擦。另外，只要能使外滾子轉(zhuǎn)動(dòng)靈活，內(nèi)齒圈齒廓與外滾子之何的滑動(dòng)摩擦也可變得很小�？梢�，推桿減速器中滑動(dòng)摩擦以推桿與導(dǎo)槽之間最為嚴(yán)重。
工程技術(shù)人員在實(shí)踐中圍繞著傳動(dòng)圈的結(jié)構(gòu)提出了不少改進(jìn)方案。一種想法是在推植與導(dǎo)槽之間加放滾針，軌圖2.3所示，使移動(dòng)副轉(zhuǎn)換成通過滾動(dòng)體接觸的滾動(dòng)副。但由于實(shí)際生產(chǎn)中工藝上的原因，這種方法沒有被采用。

圖2.4所示是推桿與導(dǎo)槽所構(gòu)成的移動(dòng)副的另外幾種形式，它們也未能很好地解決移動(dòng)副所帶來(lái)的滑動(dòng)摩擦問題。

當(dāng)把推桿去掉，內(nèi)外滾子合而為一時(shí)，便是滾柱活齒減速器的結(jié)構(gòu)。還可以將激波器設(shè)計(jì)成內(nèi)工作輪廓，內(nèi)齒圈設(shè)計(jì)成外齒輪（波形輪），這種結(jié)構(gòu)稱為外波式活齒傳動(dòng)結(jié)構(gòu)。

2.2內(nèi)齒圈齒廓的法向等距線及性質(zhì)

取固定坐標(biāo)系（o，x，y）及分別與激波器和內(nèi)齒圈固聯(lián)的坐標(biāo)系（o，x_J，y_J，）和（o，x_N，y_N），如圖2.5所示，它們?cè)诔跏嘉恢檬侵睾系摹?BR>設(shè)以y_J為坐標(biāo)極軸，激波器J的廓形H_J的表達(dá)式為T_J=T_J（θ），則內(nèi)滾子中心0₁的軌跡H₁是這樣形成的：設(shè)H_J上任意一點(diǎn)M₁處的單位法線向量為 ，在法線上，取長(zhǎng)度T_z（T_z等于滾子半徑），得一點(diǎn)O₁，則這個(gè)點(diǎn)就在H₁上，這樣逐點(diǎn)形成的H₁ 與H_J是法向等距線，它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)有共同的法線。證明如下：

這表明，H₁在0₁點(diǎn)處的切線向量 與 垂直，即 既是H_J在M₁點(diǎn)的法線，又是H₁在0₁點(diǎn)的法線，得正。

下面再推導(dǎo)一下齒廓及其法向等距線的相對(duì)曲率關(guān)系。設(shè)H_J的孤長(zhǎng)參數(shù)為S_J，相對(duì)曲率為k_J，而H₁的孤長(zhǎng)參數(shù)為S₁，相對(duì)曲率為k₁，由微分幾何可得：

最后得到法向等距線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的相對(duì)曲率關(guān)系為：

                      k_J=k₁/（1-T_zk₁）                                （2.3）

相對(duì)曲率半徑關(guān)系：

                         P_J=P₁-T_z                                    （2.4）

內(nèi)齒圈的齒廓H_N與外滾子中心的軌跡H₂也是法向等距線，它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)也有共同的法線，相對(duì)曲率與相對(duì)曲率半徑也有和上面類似的關(guān)系。

2.3內(nèi)外滾子工作角之間的關(guān)系

設(shè)在某一時(shí)刻，激波器與內(nèi)滾子相切接觸在M₁點(diǎn)，內(nèi)齒圈齒廓與外滾子相切接觸在M₂點(diǎn)，如圖2.5所示，則圖中a₁與a₂分別叫做內(nèi)外滾子工作角。在工作行程，a_l及a₂都為正值，在非工作行程，它們都為負(fù)值。

上面已說(shuō)過，內(nèi)滾子中心的軌跡H₁是激波器廓形H_J的外法向等距線，激波器按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，H₁是一條以轉(zhuǎn)角 為參數(shù)按逆時(shí)針方向生成的有向曲線，設(shè)其方程式為：

ι₁=ι₁（ ）

由微分幾何知，曲線H_l的向徑與切線正方向的夾角μ₁可由下式計(jì)算：

切線的正方向應(yīng)取與曲線極角的計(jì)量方向一致，當(dāng) 大于零時(shí)，μ₁在0至π/2范圍內(nèi)取值，當(dāng) 小于零時(shí)，μ₁在π/2至范圍內(nèi)取值。

由（2.5）式可得：

                                                              （2.6）

如圖2.5所示，設(shè)激波器相對(duì)傳動(dòng)圈順時(shí)針轉(zhuǎn)過 動(dòng)圈反方向轉(zhuǎn)過了 角（對(duì)于反向結(jié)構(gòu)，內(nèi)齒圈則相對(duì)傳動(dòng)圈按與激波器轉(zhuǎn)向相同的方向轉(zhuǎn)過 角，見圖2.6）。

外滾子中心0₂的軌跡H₂是內(nèi)齒圈齒廓的內(nèi)法向等距線，它可以看作是一條以 為參數(shù)按順時(shí)針方向形成的有向曲線（對(duì)圖2.6所示反向結(jié)構(gòu)，H₂是一條按逆時(shí)針方向形成的有向曲線H₂的方程為：

                         ι₂=ι₂（ ）=ι₁（ ）+ι                      （2.7）

將 與 分別作為上述有向曲線H₁及H₂的參數(shù)，無(wú)論對(duì)于正反向哪種結(jié)構(gòu), 隨著 的增加而增加，并有關(guān)系式

                                                           （2.8）

同樣，由微分幾何，曲線H₂的向徑與切線正方向的夾角μ₂可由下式計(jì)算：

分析圖2.5及圖2.6可知，當(dāng)μ₁及μ₂的取值在 范圍內(nèi)時(shí)，a₁及a₂為正值，當(dāng)μ₁及μ₂的取值在 范圍內(nèi)時(shí)，a₁及a₂為負(fù)值，故恒有下面的式子成立：

2.4.1內(nèi)齒圈的齒廓方程
為了提高加工精度及降低成本，推桿內(nèi)外滾子通常選用半徑相等的短圓柱滾子標(biāo)準(zhǔn)件，這樣，對(duì)激波器廓形和內(nèi)齒圈齒廓兩條曲線只要知道其中之一，便可根據(jù)機(jī)構(gòu)傳動(dòng)比、推桿長(zhǎng)度及滾子半徑來(lái)確定另外一條曲線。
設(shè)選定激波器廓形為T_J=T_J（θ），按通常的極坐標(biāo)表示法，θ增加的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。由激波器廓形方程便確定了激波次數(shù)Z_J。設(shè)激波器相對(duì)傳動(dòng)圈從初始位置順時(shí)針轉(zhuǎn)過了 角，對(duì)正向結(jié)構(gòu)，內(nèi)齒圈相應(yīng)地相對(duì)傳動(dòng)圈逆時(shí)針轉(zhuǎn)過了 角（圖2.5)，對(duì)于反向結(jié)構(gòu)，內(nèi)齒圈相應(yīng)地相對(duì)傳動(dòng)圈順時(shí)針轉(zhuǎn)過了 角（圖2.6),由圖可得：

                                          （2.17）

上式中的μ為曲線H_J在M₁點(diǎn)的向徑與切線正方向的夾角。前面已說(shuō)過，曲線向徑與切線正向的夾角μ的取值范圍是［O，π]。在用計(jì)算機(jī)解算時(shí)，反正切函數(shù)arctg（x）的值域是（- ），所以為了使概念明確和使用方便，特定義下面在本文中使用的函數(shù)：

上式中T_J（θ）表示極徑，其值當(dāng)然為正。

這樣（2.17）式中的μ可表示為：

由圖2.5（或圖2.6）中的△OM₁O₁還可得

按關(guān)系式（2.16）可計(jì)算出外滾子工作角a₂

而

對(duì)于圖2.5所示正向結(jié)構(gòu)，在與內(nèi)齒圈固聯(lián)的坐標(biāo)系中，得到外滾子中心軌跡H₂的方程為：

對(duì)于圖2.6所示的反向結(jié)構(gòu)，在坐標(biāo)系（0，x _N，y _N）中，得到內(nèi)齒圈齒廓的方程為：

每給定一個(gè)θ值，由激波器廓形方程式計(jì)算出T_J, 接著計(jì)算 及μ，然后把由(2.17）式算出的ι₁的值和由（2.19）式算出的a₁的值代入（2.16）式，可算出相應(yīng)的a₂，由式（2.20）便可得到 ，最后把這些值代入（2.21）式（反向結(jié)構(gòu)代入（2.22)式），便可得到內(nèi)齒圈齒廓上相應(yīng)的一個(gè)點(diǎn)M₂的坐標(biāo)值（x_N，y_N）。當(dāng)θ在激波器的一個(gè)周期內(nèi)取一系列點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的M₂點(diǎn)描繪出內(nèi)齒圈齒廓上一段工作齒廓與非工作齒廓曲線的圖形。

由上面可以看出，在選定激波器廓形T_J=T_J（θ）的情況下，正反兩種結(jié)構(gòu)所得到的內(nèi)齒圈齒廓方程式（2.21）與式（2.22）在形式上是不同的。對(duì)于反向結(jié)構(gòu)，用-θ代換激波器方程中的θ，即令T_J=T_J（-θ），則θ增加的方向?yàn)轫槙r(shí)針方向，若激波器廓形可表示為偶函數(shù)，即T_J（一θ)=T_J（θ），讓激波器按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，則所得的內(nèi)齒圈齒廓方程式完全與（2.21）式相同。因而齒廓方程式（2.22）與式（2.21）雖然形式不同，但實(shí)質(zhì)是一樣的。區(qū)別在于參數(shù)吸的取值方向，今后以式（2.21）作為內(nèi)齒圈齒廓的標(biāo)準(zhǔn)形式。

2.4.2內(nèi)齒圈齒廓的曲率及曲率干涉的校核
內(nèi)齒圈齒廓曲線上某點(diǎn)的曲率，表示該點(diǎn)附近齒廓曲線的彎曲程度，反映了齒廓曲線的幾何特性，是研究機(jī)構(gòu)性能的重要參數(shù)。前面說(shuō)過，內(nèi)齒圈的齒廓H_N與外滾子中心軌跡H₂是法向等距線，它們?cè)谙鄳?yīng)點(diǎn)的曲率有一定的關(guān)系，所以要求H_N的曲率，可以先求出外滾子中心軌跡H₂的曲率。
根據(jù)微分幾何，外滾子中心軌跡H₂的相對(duì)曲率k₂可由下式計(jì)算：

由（2.5）式可得：

這樣，由（2.24）式便可得到在外滾子中心軌跡上與激波器任一角度θ對(duì)應(yīng)點(diǎn)的相對(duì)曲率k₂，而內(nèi)齒圈齒廓H_N上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的曲率k_N為

在對(duì)應(yīng)于內(nèi)齒圈的齒頂部分，當(dāng)曲線H₂的最小曲率半徑P_min小于或等于滾子半徑時(shí)，即P_min≤T_Z時(shí)，則內(nèi)齒圈齒廓曲線H_N在齒頂處發(fā)生交叉，結(jié)果使齒頂變尖，稱這種現(xiàn)象為頂切。頂切將使機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)特性受到影響，使同時(shí)參加工作的推桿數(shù)目降低。由（2.24）式可計(jì)算出曲線H₂在對(duì)應(yīng)于齒頂處的相對(duì)曲率k_2a，不發(fā)生頂切的條件為：

另外，當(dāng)選用半徑為T_d的刀具加工內(nèi)齒圈齒廓時(shí)，在齒根處可能發(fā)生切削干涉（過渡切削）。同樣由式（2.24）可計(jì)算出曲線H₂在對(duì)應(yīng)于齒根處的相對(duì)曲率kZ 了，齒廓曲線H_N在齒根處的相對(duì)曲率k_Nf為：

2.4.3 激波器為偏心圓的機(jī)構(gòu)目前見到的推桿減速器，其激波器廓形都為偏心圓。設(shè)激波器廓形的半徑為T_b，偏心距為e，由于接觸點(diǎn)的法線0₁M₁必然通過偏心圓的幾何中心，如圖2.7所示，所以不需要列出激波器廓形的方程，而直接從幾何關(guān)系就能計(jì)算出滾子工作角。

將它們代入（2.19）式，便得到（2.37）式。可見前面所得到的多激波計(jì)算公式對(duì)激波器為偏心圓的單激波也同樣適用。在單激波情況下，內(nèi)外滾子工作角之間的關(guān)系簡(jiǎn)化成了：

式（2.36）、（2.37）、（2.38）是偏心圓激波器的推桿減速器中ι₁、a₂與 的基本關(guān)系式，后面常用到它們。

代入（2.24）式及（2.21）式就可求得H₂的曲率及內(nèi)齒圈齒廓H_N的方程。

當(dāng)ι=0 時(shí)，內(nèi)外滾子合而為一，這時(shí)的推桿活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)成了滾柱活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，所以上面的各公式對(duì)滾柱活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)也適用，只需將其中的ι=O即可。

2.5由內(nèi)齒圈齒廓反求激波器廓形

設(shè)選定內(nèi)齒圈齒廓H_N的方程為T_N=T_N（θ），θ 增加的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，當(dāng)內(nèi)齒圈N相對(duì)傳動(dòng)圈轉(zhuǎn)過角度 時(shí)，對(duì)應(yīng)于激波器相對(duì)傳動(dòng)圈轉(zhuǎn)過的角度為 ，如圖2.8所示。設(shè)此時(shí)H_N與外滾子在M₂點(diǎn)接觸，同樣由微分幾何，內(nèi)齒圈齒廓曲

2.6 應(yīng)用舉例

設(shè)選定推桿減速器內(nèi)齒圈齒廓為一外擺線，其方程為：

取e=5mm，z₁=11，R=120mm，用外擺法形成此曲線時(shí)，R表示基圓與發(fā)生圓半徑之和，e表示定點(diǎn)離發(fā)生圓圓心的距離。取推桿長(zhǎng)度ι=36mm，滾子半徑T_z=10mm，求單激波時(shí)的激波器廓形。

由z₁=11知內(nèi)齒圈為11個(gè)齒，即z_N=11。將擺線化成極坐標(biāo)方程就是

上式中：

 

每給一個(gè)t值，按上述式子可算出相應(yīng)的T_N及θ，經(jīng)（2.40）式可算出μ, 然后由式（2. 41）、（2. 42 ）、（2.43）和（2.45）算出相應(yīng)的ι₂、a₂、a_l及 。最后由式（2.47）可算出激波器廓形H_J上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)值。一些點(diǎn)的計(jì)算數(shù)據(jù)如表2.2所示，由計(jì)算機(jī)繪出的激波器廓形如圖2.9所示，它并不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓，圖中圓的上部稍微有點(diǎn)凸出。由解的唯一性可推知，激波器為偏心圓的推桿減速器，其內(nèi)齒圈廓形一定不是擺線，雖然形狀相似，其實(shí)二者是不同的，這已為工程實(shí)際所證實(shí)。

表2.2  激波器廓形的計(jì)算值