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  三叉桿式萬向聯(lián)軸器的理論運動分析

3.1前言

三叉桿式萬向聯(lián)軸器是一種新型的萬向聯(lián)軸器，它在結(jié)構(gòu)上簡單、緊湊、安裝方便，具有承載能力大和工作可靠等優(yōu)點。在國外已廣泛地被應(yīng)用于汽車工業(yè)和其它的工業(yè)領(lǐng)域。但由于它的運動規(guī)律復(fù)雜，為了徹底弄清它的特點，長期以來一直都有人對它運用不同的計算方法進(jìn)行運動分析。本章運用方向余弦矩陣這一數(shù)學(xué)工具，對三叉桿滑移式萬向聯(lián)軸器運動機(jī)理進(jìn)行解析計算，得出它的運動規(guī)律表達(dá)式和曲線圖，并在后面的章節(jié)中運用同樣的結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真驗證，以檢驗計算的正確性。

3.2三叉桿式萬向聯(lián)軸器的理論運動分析

3.2.1三叉桿滑移式萬向聯(lián)軸器簡介
三叉桿滑移式萬向聯(lián)軸器由滑桿套軸（又稱為輸入軸）、三叉桿（又稱為輸出軸）、小桿和內(nèi)球頭等組成產(chǎn)（這幾個構(gòu)件的模型圖3-1所示），其中小桿和內(nèi)球頭裝配成滑桿（模型的裝配關(guān)系如圖3-l最上部），在這種連接形式下，內(nèi)球頭可在小桿內(nèi)轉(zhuǎn)動，即形成球面副，具有三個轉(zhuǎn)動自由度。在滑桿套軸上有三個均勻分布的孔（小桿的滑道），與安裝在三叉桿軸頸上的滑桿相配合，這里所有的配合均為間隙配合。當(dāng)三叉桿萬向聯(lián)軸器運轉(zhuǎn)時（兩軸有夾角），滑桿一方面沿滑道的中心線移動，另一方面沿三叉桿軸頸移動，從而實現(xiàn)運動過程中的角度補(bǔ)償。

3.2.2分析模型的建立
由于運動規(guī)律的特殊性，為了實現(xiàn)它的運動，對單聯(lián)的三叉桿式萬向聯(lián)軸器需要在輸出軸上安裝調(diào)心軸承（調(diào)心軸承的模型裝配關(guān)系如圖3-1所示，它的內(nèi)圈同三叉桿無相對滑動），否則它在理論上是不可以轉(zhuǎn)動的（自由度不夠）。再裝上機(jī)架，即左支承（如圖3-1)，就構(gòu)成了三叉桿滑移式萬向聯(lián)軸器的裝配模型。其模型如圖3-2所示。

通過對圖3-2中的模型進(jìn)行抽象，可得到三叉桿滑移式萬向聯(lián)軸器的機(jī)構(gòu)運動簡圖，其示意圖如圖3-3所示，在此模型中關(guān)節(jié)軸承中心同三叉桿三軸頸軸線的交點距離一直不變。由以前的分析可知，在這種模型中，三叉桿中心的運動軌跡在輸出軸平行于自身運動時是以

為半徑的圓，其中R為輸入軸滑道軸線至。輸入軸軸線的距離（圖3-4中有其示意），β為輸入、輸出兩軸線之間的夾角（圖3-5中有其示意）,L為圓錐擺中軸線長。所以采用調(diào)心軸承安裝輸出軸時，輸出軸的運動必為一圓錐擺運動，三叉桿中心的偏心距P比值 有關(guān)。當(dāng)L為無窮大時，,這時相當(dāng)于用雙向心軸承安裝輸出軸，隨著 增大L

P的計算值與實際值將會出現(xiàn)微小的誤差；由于誤差極小，所以在一般應(yīng)用場合可以取P≈ （ ）

由于在轉(zhuǎn)動的過程中，三叉桿交點作旋轉(zhuǎn)運動，因此會導(dǎo)致輸入軸與輸出軸之間的夾角發(fā)生變化，其變化范圍為β_min～β_max，當(dāng)O點（見圖3-5）處于輸入軸與輸出軸轉(zhuǎn)動錐中心線所構(gòu)成平面的兩個極限位置時，偏轉(zhuǎn)角達(dá)到兩極值:

在其它位置時，偏轉(zhuǎn)角介于兩者之間。

3.2.3坐標(biāo)系的建立
由于輸出軸作一圓錐運動，在分析的過程中需建立三套坐標(biāo)系，如圖3-5所示。
首先建立兩個固定坐標(biāo)系OXYZ和O′X′Y′Z′，輸出軸轉(zhuǎn)動錐中心線取為軸OZ，輸入軸的軸線取為O′Z′，其中O與O′重為oZ與O′Z′交點，取軸OY與O′Y′重合，且垂直于形成夾角β的OZ和O′Z′兩軸所在平面，則坐標(biāo)系O′X′Y′Z′可看作是坐標(biāo)系OXYZ繞OY軸旋轉(zhuǎn)一個角度，即為輸入與輸出之間的夾角β所得。另外，在三叉桿上固連一動坐標(biāo)系O″X″Y″Z″，原點O″即為三叉桿的交點，O″Z″即為實際輸出軸軸線，O″X″Y″平面即為三叉桿所在平面，且取軸O″Y″始終垂直于OX軸（即動坐標(biāo)系O″X″Y″Z″也隨三叉桿作圓錐運動）。假定在初始狀態(tài)下，導(dǎo)向滑道軸線m₁位于O′X′Z′平面內(nèi)，三叉桿軸線n₁位于與固定平面OXZ重合的動平面o″X″Z″內(nèi)，當(dāng)輸入軸轉(zhuǎn)過一角度 時，輸出軸上三叉桿轉(zhuǎn)過 角,其中輸入軸轉(zhuǎn)過角 時，在坐標(biāo)系O′X′Y′Z′中位置如圖3-4所示（圖3-4中右圖為左視圖，w_i為輸入轉(zhuǎn)速），這樣建立坐標(biāo)系后，就可以利用引入齊次坐標(biāo)的方向余弦矩陣——四階變換矩陣進(jìn)行運動方面的分析了。

3.2.4運動分析
按圖3-5所示坐標(biāo)系，可先在動坐標(biāo)系O″X″Y″Z″中建立三叉桿軸頸的軸線參數(shù)方程然后通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)至固定坐標(biāo)系O′X′Y′Z′中，因輸入軸的滑道軸線同三叉桿軸頸的軸線相交（于小桿球面的中心），故在坐標(biāo)系O′X′Y′Z′中聯(lián)立三叉桿軸頸的軸線參數(shù)方程和輸入軸的滑道軸線參數(shù)方程，在這個聯(lián)立的方程中會出現(xiàn)兩個未知量即輸出轉(zhuǎn)角 和動坐標(biāo)系中的一個坐標(biāo)x″，方程數(shù)和未知量數(shù)是相同的，可以求解，通過消除了即可求得 同 的關(guān)系；同時小桿球面的中心在固定坐標(biāo)系O′X′Y′Z′中的運動軌跡也可求出。

3.2.4.1聯(lián)立方程的求取
由建立的坐標(biāo)系可知：
在定坐標(biāo)系O′X′Y′Z′中輸入軸的三滑道軸線m₁、m₂、m₃方程為：

在動坐標(biāo)系O″X″Y″Z″中三叉桿軸頸的軸線n₁、n₂、n₃方程為：

定坐標(biāo)系O′X′Y′Z′與定坐標(biāo)系OXYZ之間的四階變換矩陣為：

下面討論如何在固定坐標(biāo)系O′X′Y′Z′中表達(dá)出三叉桿軸線的參數(shù)方程。

為求出這個參數(shù)方程，我們必須解決動坐標(biāo)系O″X″Y″Z″同定坐標(biāo)系OXYZ之間的坐標(biāo)變換矩陣[Moo″]。

已知O″點在OXYZ中的坐標(biāo)為：

由于動坐標(biāo)系O″X″Y″Z″的O″Y″軸取得始終垂直于固定坐標(biāo)系OX軸，可認(rèn)為先把OXYZ坐標(biāo)系繞OX軸轉(zhuǎn)過夾角θ_z，使OY軸與O″Y″軸平行，再繞新的OY軸轉(zhuǎn)過θ_y，使OX軸與O″X″軸平行，OZ軸也同時平行于O″Z″軸（變換空間位置如圖3-6所示）。則固定坐標(biāo)OXYZ與動坐標(biāo)系間的變換關(guān)系如下：

所以有：

因O″Z″與OZ的交點S在OXYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（O，O，L），在O″X″Y″Z″坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（O，O ），代入式（3-5）

可推出：

由式（3-6）可知|θ_y|<θ，|θ_x|<θ一般來說θ值非常小，則θ_y和θ_x則更小。到此方向余弦矩陣[Coo″]的所有項均可求出。其具體的形式如下（為簡化書寫將θ_y作為已知參數(shù)代入）：

于是動坐標(biāo)系O″X″Y″Z″與定坐標(biāo)系OXYZ之間的四階變換矩陣[Moo″]為：

其中tgθ= ，（L為圓錐擺中軸線長，P為圓錐擺底圓半徑（見圖3-3））

又坐標(biāo)系O′X′Y′Z′與坐標(biāo)系O″X″Y″Z″之間的四階變換矩陣為：

[Mo′o″]=[Mo′o] [Moo″]

故三叉桿軸頸的軸線方程由坐標(biāo)系O″X″Y″Z″轉(zhuǎn)到坐標(biāo)系O′X′Y′Z′為：

（3-7）式中A₁、A₂、A₃、A₄、B₁、B₂、B₃、B₄、C₁、C₂、C₃、C₄等于其在矩陣[Mo′o″]中對應(yīng)位置的表達(dá)式。

將式（3-3）同式（3-9）式聯(lián)立，則有：

3.2.4.2輸入、輸出轉(zhuǎn)角關(guān)系的求取
由式（3-1o）中的（1）、（2）兩式，消去x″，即可求出輸入角 同輸出角 的

關(guān)系。
   （3-11）

在式(3-11)中略去sinθ的平方和高次項（根據(jù)實際情況p«L，故θ也非常�。�，同時令cosθ_y≈1（由式（3-6）可知是合理的）。則可得出輸入同輸出轉(zhuǎn)角關(guān)系：
轉(zhuǎn)角關(guān)系：   （3-12）
速比關(guān)系： （單位為弧度/秒）                       （3-13）

3.2.4.3小桿的運動分析

3.2.4.3.1小桿相對于滑道的運動
對式（3-1o）中的第（3）式作近似處理sinθ≈ ≈o，cosθ≈1（實際上p<<L,近似處理是合理的），則可得到三小桿的球面中心P在固定坐標(biāo)系o′X′Y′Z′中的運動軌跡：

由式（3-14）則有小桿在滑道中的滑動位移即為坐標(biāo)z′值，由于三小桿的滑動位移是相同的，可取其中之一進(jìn)行表示，令h₁為其位移量則可表示為：

小桿球面中心P在定坐標(biāo)系o′X′Y′Z′中的坐標(biāo)（X′Y′Z′）表示成向量形式為： =（x′，y′，z′），將其對時間t求導(dǎo)得到： ，則P點的絕對速度為v_p= 。其中：

 

上式中作 的處理（三叉桿式萬向聯(lián)軸器輸入同輸出的轉(zhuǎn)角差值很小，可以認(rèn)為是等角速傳動，這在后面的分析中可以證明。） =v_pz是小桿沿著滑道的相對速度，將速度 再次對時間t求導(dǎo)可得小桿運動的加速度： （其中 =a_pz是小桿沿著滑道的相對加速度）。
假設(shè)輸入軸的轉(zhuǎn)速為定值，則，此時：

 

3.2.4.3.2 小桿（球面中心P）相對于三叉桿軸頸的運動小桿的球面中心P在動坐標(biāo)系O″X″Y″Z″中的參數(shù)方程為：

（方程中h_j為小桿的球面中心P到三叉桿軸線的距離，因為三小桿運動相同，故取其中之一分析，可令j=o)
將（3-17)式代入（3-1o）式中第（2）個方程可得
Rsin =B₁h_ocos +B₂h_osin +B₄

由 = ，cosθ≈1，sinθ≈o則可得出小桿球面中心P沿著三叉桿軸頸相對位移量為：

h_o=R-P-2Pcos2                                    （3-18）

將位移h_o對時間t求導(dǎo)可得小桿球面中心P沿三叉桿軸頸的相對速度：

                             （3-19）

將速度 再次對時間t求導(dǎo)可得小桿球面中心P沿三叉桿軸頸的相對加速度：

                          （3-2o）

3.2.5結(jié)果分析
對我們進(jìn)一步分析有意義的有如下各量：

輸入、輸出轉(zhuǎn)角差值 同輸入、輸出角速度比值 隨輸入角和兩軸夾角的變化情況；
小桿沿滑道運動的位移h₁、速度v_Pz和加速度a_pz隨輸入角和兩軸夾角的變化情況；
小桿的球面中心P沿三叉桿軸頸運動的位移h_o、速度 和加速度 隨輸入角和兩軸夾角的變化情況；
故繪出它們在不同的軸夾角β下隨輸入軸轉(zhuǎn)角 的變化曲線圖，以便進(jìn)行直觀的分析。

假設(shè)R=37mm，L=14o.5mm，ω_i=9o （為了使理論分析結(jié)果同仿真試驗的結(jié)果相互驗證，這里的尺寸 和運動參數(shù)的選取實際上就是仿真中用到的數(shù)字），繪出以上被關(guān)注量隨輸入軸回轉(zhuǎn)兩周的曲線圖，分別如圖3-7、圖3-8、圖3-9、圖3-1o、圖3-11、圖3-12、圖3-13和圖3-14所示。

由以上對各曲線圖的分析，可以知道三叉桿萬向聯(lián)軸器在一定的程度上可以認(rèn)為是一種等角速聯(lián)軸器；它的各個運動參量，一般都隨兩軸夾角β的增大而增大，有的還變化較大，故不適宜于在大夾角的工況下工作。

3.3本章小結(jié)
通過引入在調(diào)心軸承安裝工況的三叉桿滑移式萬向聯(lián)軸器模型，建立合適的運動模型和坐標(biāo)系，利用齊次坐標(biāo)的方向余弦矩陣——四階變換矩陣，對三叉桿滑移式萬向聯(lián)軸器進(jìn)行運動分析，得到其各個構(gòu)件的位移、速度和加速度表達(dá)式和變化曲線，并對各曲線進(jìn)行了分析，得出它是一種準(zhǔn)等角速聯(lián)軸器，為本文后續(xù)的仿真驗證和以后的動力分析提供了基礎(chǔ)。

對曲線圖的分析：

由曲線圖3-7可以看出兩軸的轉(zhuǎn)角差相當(dāng)小，即使在兩軸夾角達(dá)到2o^o時，輸入同輸出的最大轉(zhuǎn)角差也不到o.1^o，所以在一定的程度上認(rèn)為輸入、輸出轉(zhuǎn)角相同是有一定的道理的。且轉(zhuǎn)角隨兩軸夾角β的增大而增大，變化的頻率為一個回轉(zhuǎn)周期3次。

由曲線圖3-8可以看出，當(dāng)輸入軸轉(zhuǎn)速恒定為9o^o/s時，輸出軸的轉(zhuǎn)速變化也是相當(dāng)?shù)钠骄�，即使在兩軸夾角達(dá)到2o°時，其角速度變化的最大值也僅有o.4 ^o／s，所以在一定的程度上可以認(rèn)為這種聯(lián)軸器是一種等角速聯(lián)軸器。角速度的變化頻率為一個回轉(zhuǎn)周期3次，在一個回轉(zhuǎn)周期內(nèi)完全等速點有六次。且角速度差隨兩軸夾角β的增大而增大。
由曲線圖3-9可以看出，小桿沿滑道的位移隨兩軸夾角β的增大而增大，變化量也比較大，變化頻率為一個回轉(zhuǎn)周期1次。這可以作為三叉桿萬向聯(lián)軸器設(shè)計中，小桿長度的設(shè)計依據(jù)。
由曲線圖3-1o可以看出，小桿球面中心P沿軸頸位移是以尺寸R為回歸中心，隨兩軸夾角β的增大而增大，不過變化的范圍不是很大，在兩軸夾角達(dá)到2o°時，其變化量也不到5mm，相比小桿沿滑道的位移它的值要小得多。它的變化頻率為一個回轉(zhuǎn)周期2次。
由曲線圖3-11可以看出，小桿沿滑道的運動速度也具有周期性，它的變化頻率為一個回轉(zhuǎn)周期1次。曲線同正弦線有一點相似，但上下不對稱，隨兩軸夾角盧的增大其最大值增長較快，這一數(shù)值可以作為動力分析中摩擦計算的重要依據(jù)。
由曲線圖3-12可以看出，小桿球面中心P沿軸頸的線速度隨兩軸夾角β的增大其最大值增長也較快，它的變化頻率為一個回轉(zhuǎn)周期2次，曲線上下對稱這一數(shù)值可以作為動力分析中摩擦計算的重要依據(jù)。

由曲線圖3-13可以看出，小桿沿滑道的運動加速度其變化較為復(fù)雜，變化具有周期性，變化頻率為一個回轉(zhuǎn)周期1次。隨兩軸夾角β的增大其最大值增長較快，它的值可以作為動力分析和設(shè)計計算的重要依據(jù)。
由曲線圖3-14可以看出，小桿球面中心P沿軸頸的線加速度，變化頻率為一個回轉(zhuǎn)周期2次。隨兩軸夾角β的增大其最大值增長較快，它的值可以作為動力分析和設(shè)計計算的重要依據(jù)。