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齒輪故障振動(dòng)的研究

齒輪是機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的主要部件，它已被廣泛地應(yīng)用在旋轉(zhuǎn)機(jī)械及動(dòng)力傳輸裝置中。齒輪在進(jìn)行嚙合傳動(dòng)時(shí)，由于外載荷變化、齒輪加工誤差、齒輪嚙合剛度的時(shí)變性及嚙合沖擊等因素的影響，齒輪將產(chǎn)生振動(dòng)。齒輪在振動(dòng)時(shí)構(gòu)成一個(gè)線性時(shí)變或非線性時(shí)變系統(tǒng)。齒輪在傳動(dòng)過程中，隨著齒面磨損的擴(kuò)展，齒輪的齒形誤差、基節(jié)誤差和齒側(cè)間隙也將增加。齒輪齒側(cè)間隙對(duì)齒輪振動(dòng)特性影響的研究，國(guó)外起始于1967年KNakamura的研究，主要利用數(shù)值仿真從時(shí)域分析研究了齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)特性。近年來國(guó)外AKahlarman等學(xué)者從頻域上研究了一定齒側(cè)間隙對(duì)齒輪幅頻特性的影響，并從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了當(dāng)存在齒輪側(cè)隙時(shí)，一個(gè)齒輪一傳動(dòng)軸一支撐軸承系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生亞諧和超諧共振。本章在建立齒輪振動(dòng)微分方程的基礎(chǔ)上，用變步長(zhǎng)Runge-Kutta法求出了存在間隙時(shí)齒輪振動(dòng)的時(shí)程響應(yīng)的數(shù)值解，并用FFT方法求出時(shí)程響應(yīng)的幅值譜，對(duì)在非共振情況下齒輪側(cè)隙和載荷的變化對(duì)齒輪振動(dòng)頻率的影響進(jìn)行了研究。研究結(jié)果表明，齒側(cè)間隙的變化對(duì)齒輪的振動(dòng)故障頻率成份有很大的影響；齒側(cè)間隙的值一定時(shí)，如果齒輪的工作轉(zhuǎn)速和工作載荷發(fā)生改變時(shí)，齒輪的振動(dòng)故障頻率成份也有改變。該結(jié)果對(duì)齒輪的故障診斷和齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)有重要的意義。
此外，本章還對(duì)齒輪偏心質(zhì)量對(duì)齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響進(jìn)行了分析研究，并分析了頻譜特征。

2.1齒輪振動(dòng)力學(xué)模型及嚙合力分析

設(shè)有一對(duì)齒輪傳動(dòng)，齒輪1為主動(dòng)齒輪，齒輪2為從動(dòng)齒輪，它們分別有一偏心質(zhì)量m_l和m₂，振動(dòng)力學(xué)模型見圖2-l。設(shè)主動(dòng)齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角位移、角速度、角加速度和旋轉(zhuǎn)角速度分別為 和ω₁，從動(dòng)齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角位移、角速度、角加速度和旋轉(zhuǎn)角速度分別為  和ω₂，則有ω₁=iω₁(i為齒輪傳動(dòng)比）。
為了研究問題的方便，特作如下假設(shè)：
(l）齒輪的支撐軸又短又粗，近似為剛性軸，故不考慮其橫向振動(dòng)及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)；

(2）滾動(dòng)軸承剛度較大，作為剛性支撐處理并忽略軸及軸承的阻尼。

作用在主、從動(dòng)齒輪的力矩分析如下：

（1）作用在主動(dòng)齒輪上的驅(qū)動(dòng)力矩T₁（t）是常數(shù)，即T₁（t）=C；而作用在從動(dòng)齒輪上的工作阻力矩T₂（t）可看作一個(gè)恒量T_m與幅值為T_aT簡(jiǎn)弦變量之和：

T₂（t）=T_m+T_aTsin（ω_Tt+ф_T）                                （2-1）

式中ω_Tt、ф_T-分加這從動(dòng)齒輪上的工作阻力矩T₂（t）變化圓頻率和初始相位角。

圖2-1中，r_b1——主動(dòng)齒輪基圓半徑；r_b2——從動(dòng)齒輪基圓半徑；K（t）——齒輪嚙合剛度；e₁——主動(dòng)齒偏心距；e₂——從動(dòng)齒輪偏心距；β₁——主動(dòng)齒輪不平衡質(zhì)量的初始角度；β₂——從動(dòng)齒輪不平衡質(zhì)量的初始角度；δ（t）——齒輪的綜合誤差；J_D1——主動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；JD₂——從動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；C（t）——齒輪阻尼系數(shù)；b——具側(cè)間隙；n-n——齒輪嚙合線方向。

（2）作用在主、從動(dòng)齒輪間的動(dòng)態(tài)嚙合力及嚙合力矩

i）當(dāng)不考慮齒側(cè)間隙時(shí)，動(dòng)態(tài)嚙合力：

P_nK（t）[X-δ（t）]                                             （2-2）

式中X=r_b1tgθ₁-r_b2tgθ₂為主、從動(dòng)齒輪間的相對(duì)振動(dòng)位移；K（t）為齒輪嚙合剛度，近似視為矩形波，可展為富氏級(jí)數(shù)：

式中：ε——重合度；ω_meh——齒輪嚙合頻率；K_n——齒輪剛度諧波項(xiàng)；K¹——單對(duì)齒嚙合剛度；K²——兩對(duì)齒嚙合剛度；Ψ_n——齒輪剛度諧波項(xiàng)相位。

一對(duì)齒輪的綜合誤差δ（t）也可展為富氏級(jí)數(shù)：

式中：δ（t）——齒輪誤差諧波系數(shù)； ——齒輪誤差諧波項(xiàng)相比；

嚙合力矩P_nr_bi                                （i=1，2）

ii）當(dāng)考慮齒側(cè)間隙時(shí)，動(dòng)態(tài)嚙合力：

P_n K（t）f（r_b1tgθ₁- r_b2tgθ₂-δ（t））= K（t）f（t）                （2-8）

其中f（t）為分段非線性函數(shù)，可表示為如下形式：

（3）阻尼力矩：

C（t）（ - （t））r_b1      （i=1，2）（不考慮齒側(cè)間隙）                 （2-10）

或C（t）f′（t）r_b1     （i=1，2）（考慮齒側(cè)間隙）                   （2-11）

其中：齒輪阻尼系數(shù)C（t）=2 ，m_red——嚙合齒輪當(dāng)量質(zhì)量。阻尼比 根扭圖2-2取值。阻尼系數(shù)C（t）也可根據(jù)下列公式取值：

式中：e——中間變量：V為齒面間相對(duì)滑動(dòng)速度。

（4）由不平衡質(zhì)量即偏心質(zhì)量造成的附加力（嚙合力方向）：

2.2齒輪振動(dòng)支力學(xué)方程

根據(jù)上節(jié)單級(jí)齒輪系統(tǒng)的受力分析，可得θ₁、θ₂兩自由度主從動(dòng)齒輪振動(dòng)微分方程：

式中 。很明顯，由于θ， ， 前面的系數(shù)和時(shí)變剛度K（t）、非線性函數(shù)f（t）有θ， 有關(guān)，不是常數(shù)，故方程組（2-14）是一個(gè)非線性時(shí)方程組。

2.3方程考慮解法考慮齒輪齒側(cè)間隙的振動(dòng)頻譜特征

當(dāng)不考慮偏心質(zhì)量，而只考慮存在齒輪齒側(cè)間隙時(shí)，方程組（2-14）可化為：

由于上式是一個(gè)非線性時(shí)變方程組，它的理論解無法得出，故采用數(shù)值解法求解。為了便于計(jì)算，將方程組（2-15）轉(zhuǎn)化到狀態(tài)空間中，將方程組表達(dá)成： =f_i（Z₁，Z₂，Z₃，Z₄），i=1，2，3，4，則原方程組可表達(dá)成：

2.3.1方程數(shù)值解法

采用經(jīng)典的四階Runge-Kutta法或四階的Runge-Kutta-Gill法方程級(jí)的數(shù)值解，即可求得齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)程響應(yīng)。為了保證求解收斂，求解過程中應(yīng)采用步長(zhǎng)迭代。其計(jì)算公式如下：

1.鬼神代初始值的選�。�

有三種方式：

（1），即 這種取值方法對(duì)求瞬態(tài)應(yīng)較為有利，但計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)也可求得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；

（2） 和 的值根據(jù)額定扭矩下求得齒輪扭轉(zhuǎn)角， 和 的值取額定旋轉(zhuǎn)角速度，迭代時(shí)間很長(zhǎng)才能求得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；

（3） 和 的值根據(jù)額定扭矩下求得齒傳輸線扭轉(zhuǎn)角， 和 ，這種方法可在較短的時(shí)間內(nèi)求得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

2.幅值譜計(jì)算

在求得了齒輪的時(shí)程響應(yīng)后，經(jīng)過FFT變換可求得齒輪相對(duì)振動(dòng)的幅值譜。幅值譜計(jì)算公式：

3.數(shù)值算例

以直齒圓柱齒輪為例（斜齒圓柱齒輪應(yīng)把齒數(shù)Z換成當(dāng)量齒數(shù)Z_V），計(jì)算齒輪齒側(cè)間隙變化對(duì)齒輪振動(dòng)故障頻率成份的影響以及齒輪工作載荷及轉(zhuǎn)速的對(duì)齒輪振動(dòng)故障頻率成份的影響。取零初始條件計(jì)算。

4.齒輪具體參數(shù)如下：

模數(shù)            m=3mm

齒數(shù)            Z₁23，Z₂45

分度圓半徑      r₁=34.5mm，r₂=67.5mm

基圓半徑        r_b132.4mm，r_b2=63.4mm

扭矩            T₁=63.47Nm，T₂124.57Nm

重合度          ε=1.677

齒寬            b=20mm

嚙合剛度諧波項(xiàng)：          K₀5.6157×10⁸N/m，K₁1.8107×10⁸N/m，K₂=0.9558×10⁸ N/m，K₃=0.0691×10⁸ N/m

齒輪當(dāng)量質(zhì)量                 m₁=0.293kg, m₂=1.216kg

阻尼系數(shù)                     C=3275

齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量                 J_D1=0.000307945kgm²，JD₂=0.004888484kgm²

電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速                   n=960rpm

齒側(cè)間隙                     0～0.3mm

2.3.2考慮齒輪齒側(cè)間隙的振動(dòng)頻譜特征

軸承對(duì)箱體動(dòng)態(tài)激勵(lì)力和齒傳輸線相對(duì)振動(dòng)位移X=（r_b1tgθ₁-r_b2tgθ₂）有相對(duì)振動(dòng)速度 （=r_b1sec²θ_{1 1}）有關(guān)，文中只列出 的計(jì)算結(jié)果，圖2-3～圖2-13為各種工況的齒輪故障振動(dòng)分析，其中包括齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度時(shí)程響應(yīng)圖、齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度幅值譜圖和相平面圖。
(l）齒輪工作轉(zhuǎn)速一定時(shí)，齒側(cè)間隙的變化對(duì)齒輪故障振動(dòng)頻率的影響：

圖2-3是工況為：齒輪嚙合頻率為5888Hz、齒側(cè)間隙b=0齒輪故障振動(dòng)分析，其中（a）圖為齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度時(shí)程響應(yīng)圖，(b）圖為齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度幅值譜圖。從圖上可看出，當(dāng)齒側(cè)間隙為0時(shí)，此時(shí)振動(dòng)故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh。的1、2、3倍。相平面圖也穩(wěn)定于一個(gè)橢園極限環(huán)（見（c）圖）。

圖2-4是工況為：齒輪嚙合頻率為5888Hz、但齒側(cè)間隙b＝0.1mm= 。（齒厚）齒輪故障振動(dòng)分析，其中（a）圖為齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度時(shí)程響應(yīng)圖，(b）圖為齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度幅值譜圖。從圖上可看出，當(dāng)齒側(cè)間隙增加到O.lmm時(shí)，此時(shí)振動(dòng)故障頻率仍為齒輪嚙合頻率f_meh的1、2、3倍。相平面圖也穩(wěn)定于一個(gè)封閉曲線（見（c）圖）。
圖2-5是工況為：齒輪嚙合頻率仍為5888Hz、但齒側(cè)間隙增加到b=0.15mm= （齒厚）齒輪故障振動(dòng)分析，其中（a）圖為齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度時(shí)程響應(yīng)圖，(b）圖為齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度幅值譜圖。從圖上可看出，當(dāng)齒側(cè)間隙繼續(xù)增加到0.15mm時(shí)，齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度波形有較大的變化，此時(shí)振動(dòng)故障頻率成份發(fā)生了改變，振動(dòng)故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1/3、2/3、3/3、…倍。極限環(huán)經(jīng)過反復(fù)振蕩后也穩(wěn)定于一個(gè)封閉曲線（見（c）圖）。

圖2-6對(duì)應(yīng)工況為：齒輪嚙合頻率仍為5888Hz、但齒側(cè)間隙增加到b=0.20mm （齒厚）齒輪故障振動(dòng)分析，其中（a）圖為齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度時(shí)程響應(yīng)圖，(b）圖為齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度幅值譜圖。從圖上可看出，當(dāng)齒側(cè)間隙為0.20mm時(shí)，齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度波形也有較大的變化，振動(dòng)速度幅值較前面增加了，此時(shí)振動(dòng)故障頻率成份較復(fù)雜，振動(dòng)故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1/6、2/6、3/6、…倍。相平面圖趨向于一混沌狀態(tài)邊緣（見（c）圖）。

圖2-7是當(dāng)齒輪嚙合頻率仍為5888Hz、但齒側(cè)間隙增加到b=0.25mm= （齒厚）時(shí)，齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度時(shí)程響應(yīng)圖（（a）圖）和齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度幅值譜圖（(b）圖）。從（b）圖上可看出，當(dāng)齒側(cè)間隙增加到0.25mm時(shí)，此時(shí)振動(dòng)故障頻率成份又發(fā)生了改變，振動(dòng)故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的l/12、2/12、3/12、…倍。
圖2-8中，(a）圖和（b）圖分別是當(dāng)齒輪嚙合頻率仍為5888Hz、但齒側(cè)間隙增加到b=0.3Omm （齒厚）時(shí)，齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度時(shí)程響應(yīng)圖和齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度幅值譜圖。從（b）圖上可看出，當(dāng)齒側(cè)間隙為0.30mm時(shí)，此時(shí)振動(dòng)故障頻率成份也發(fā)生了改變，振動(dòng)故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1/5、2/5、3/5、…倍。
總之，齒側(cè)間隙的變化對(duì)齒輪故障振動(dòng)頻率有很大的影響。
(2）工作轉(zhuǎn)速對(duì)齒輪振動(dòng)故障頻率的影響（此時(shí)設(shè)齒側(cè)間隙b=0.2mm):

圖2-9是當(dāng)齒輪嚙合頻率為1300Hz、齒側(cè)間隙b=0.2mm時(shí)，齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度時(shí)程響應(yīng)圖（(a）圖）和齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度幅值譜圖（(b）圖）。從（b）圖上可看出，當(dāng)齒側(cè)間隙為0.2mm時(shí)，此時(shí)振動(dòng)故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1、2、3倍，分?jǐn)?shù)諧波不明顯。
圖2-10中，(a）圖和（b）圖分別是當(dāng)齒輪嚙合頻率增加到4000Hz、齒側(cè)間隙增加到b=0.2mm時(shí)齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度時(shí)程響應(yīng)圖和齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度幅值譜圖。從（b）圖上可看出，此時(shí)振動(dòng)故障頻率仍為齒輪嚙合頻率f_meh的1、2、3倍，分?jǐn)?shù)諧波也不明顯，但2f_meh的幅值比1f_meh的大。
圖2-11中，(a）圖和（b）圖分別是當(dāng)齒輪嚙合頻率為so00Hz、齒側(cè)間隙b=0.2mm時(shí)齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度時(shí)程響應(yīng)圖和齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度幅值譜圖。從（b）圖上可看出，此時(shí)振動(dòng)故障頻率發(fā)生了改變，振動(dòng)故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1/13、2/13、3/13倍，明顯出現(xiàn)分?jǐn)?shù)諧波。

(3）工作載荷幅值的變化對(duì)齒輪振動(dòng)故障頻率的影響：
圖2-4（b）是輕載時(shí)（小的齒側(cè)間隙）齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度幅值譜圖。從圖上可看出，此時(shí)振動(dòng)故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1、2、3倍，無分?jǐn)?shù)諧波成份出現(xiàn)。
圖2-12是中載、齒側(cè)間隙增大時(shí)齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度幅值譜圖。從圖上可看出，此時(shí)振動(dòng)故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1/6、2/6、3/6、…倍，分?jǐn)?shù)諧波成份明顯。
圖2-13是更大的載荷（齒側(cè)間隙保持不變）時(shí)齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度幅值譜圖。從圖上可看出，此時(shí)振動(dòng)故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的l/4、2/4、3/4、…倍，分?jǐn)?shù)諧波成份非常明顯�？煽闯龇蔷�性時(shí)變系統(tǒng)與線性時(shí)變系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的齒輪振動(dòng)故障頻率有很大的不同。

2.4考慮齒輪偏心的振動(dòng)頻譜特征

當(dāng)只考慮齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)而不考慮齒輪及軸的橫向振動(dòng)時(shí)，以往研究都沒有考慮到齒輪偏心質(zhì)量對(duì)齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響，實(shí)際上這個(gè)影響是存在的。不考慮齒側(cè)間隙時(shí)，P_n取（2-2）式，代入式（2-13）可得單級(jí)齒輪系統(tǒng)帶偏心質(zhì)量的振動(dòng)微分方程：

由于θ， 前面的系數(shù)和時(shí)變剛度K(t）及θ， ，有關(guān)，不是常數(shù)，故方程組（2-14)也是一個(gè)非線性時(shí)變方程組。
采用變步長(zhǎng)R-K方法解方程組（2-20），得到齒輪相對(duì)振動(dòng)位移、速度時(shí)程響應(yīng)，如對(duì)這時(shí)域信號(hào)進(jìn)行FFT變換，就可得到幅值譜。圖2-14(a）、2-14(b）分別是考慮齒輪偏心與不考慮齒輪偏心的齒輪振動(dòng)位移、速度比較圖。從圖上可看出，考慮齒輪偏心與不考慮齒輪偏心在齒輪振動(dòng)位移、速度的幅值上是有差別的，前者比后者在最大幅值處大5%左右；兩者在振動(dòng)位移、速度的相位上無差別。圖2-15(a）、圖2-15(b）是齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度時(shí)程響應(yīng)圖和齒輪輪齒相對(duì)振動(dòng)速度幅值譜圖。從圖上可看出，此時(shí)振動(dòng)故障頻率發(fā)生了改變，振動(dòng)故障頻率除了齒輪嚙合頻率r_meh的1、2、3倍外，還有齒輪所在軸的軸頻。

根據(jù)前面的分析結(jié)果，我們可認(rèn)為在分析齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)故障頻率時(shí)，由于齒輪輪齒的動(dòng)力藕合，必須考慮齒輪的偏心質(zhì)量的影響。

2.5小結(jié)

1在齒輪工作轉(zhuǎn)速和載荷不變時(shí)，齒側(cè)間隙的變化對(duì)齒輪故障振動(dòng)頻率有很大的影響。當(dāng)齒輪磨損加劇、齒側(cè)間隙增加時(shí)，齒輪故障振動(dòng)頻率除了有嚙合頻率的整數(shù)倍成份外，還增加了分?jǐn)?shù)倍的諧波成份。
2當(dāng)考慮齒側(cè)間隙時(shí)，工作轉(zhuǎn)速的變化對(duì)齒輪振動(dòng)故障頻率也有影響。當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，工作轉(zhuǎn)速越高，齒輪故障振動(dòng)頻率分?jǐn)?shù)成份越明顯。而當(dāng)不考慮齒側(cè)間隙時(shí)，工作轉(zhuǎn)速的變化對(duì)齒輪振動(dòng)故障頻率的成份無影響。

3當(dāng)考慮齒側(cè)間隙時(shí)，工作載荷幅值的變化對(duì)齒輪振動(dòng)故障頻率的影響。輕載時(shí)，齒輪故障振動(dòng)頻率無分?jǐn)?shù)成份：中載和重載時(shí)，載荷越大，齒輪故障振動(dòng)頻率分?jǐn)?shù)成份次諧波越明顯，且幅值也增加。
4在分析齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)故障頻率時(shí)，由于齒輪輪齒的動(dòng)力耦合的效果，應(yīng)考慮齒輪的偏心質(zhì)量的影響。