1 引言

工藝參數(shù)是數(shù)控切削加工的基本控制量。如工藝參數(shù)選擇不當(dāng)，不僅難以保證工件加工精度及控制加工成本，而且可能因切削力過大等原因造成機(jī)床被迫停機(jī)，影響數(shù)控機(jī)床效能的正常發(fā)揮。因此，以提高數(shù)控切削加工效率、降低加工成本、獲得高質(zhì)量產(chǎn)品為目的進(jìn)行的數(shù)控切削加工工藝參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化研究，對(duì)提高數(shù)控加工經(jīng)濟(jì)效益具有重要意義。

本文以數(shù)控車削、數(shù)控銑削加工的主軸轉(zhuǎn)速、進(jìn)給速度、背吃刀量、銑削寬度等工藝參數(shù)作為優(yōu)化變量，建立了多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，同時(shí)采用有效的優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)數(shù)控切削加工工藝參數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化。

2 數(shù)控切削加工工藝參數(shù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)描述

1. 優(yōu)化變量

數(shù)控車削加工工藝參數(shù)的優(yōu)化以主軸轉(zhuǎn)速n、進(jìn)給速度v_f、背吃刀量a_p作為優(yōu)化變量，其向量表示為

數(shù)控銑削加工工藝參數(shù)的優(yōu)化以主軸轉(zhuǎn)速n、進(jìn)給速度v_f、背吃刀量a_p、銑削寬度a_e作為優(yōu)化變量，其向量表示為

1. 目標(biāo)函數(shù)
   1. 數(shù)控切削加工工時(shí)目標(biāo)函數(shù)最高生產(chǎn)率與最短加工工時(shí)是一致的。數(shù)控切削加工工時(shí)為

      t= lw (1+ tct )+t0 vf T

      (1)

      式中：l_w——切削行程(mm)
      v_f——進(jìn)給速度(mm/min)
      t_ct——換刀時(shí)間(min/次)
      T——刀具使用壽命(min/個(gè))
      t₀——工序輔助時(shí)間(min)
      車削加工刀具的使用壽命為

      T= KTCT n1/mvf1/nap1/p

      (2)

      銑削加工刀具的使用壽命為

      T= KTCTDq n1/mvf1/nap1/pae1/uZ1/w

      (3)

      式中：C_T——系數(shù)
      K_T——修正系數(shù)
      m，n，p，u，w——指數(shù)
      D——銑刀直徑
      Z——銑刀齒數(shù)
      將式(2)、(3)分別帶入式(1)，可得數(shù)控車削加工工時(shí)目標(biāo)函數(shù)為

      Mt(X)=Avf-1+Bcvf(1/n-1)n1/map1/p+t0

      (4)

      數(shù)控銑削加工工時(shí)目標(biāo)函數(shù)為

      Mt(X)=Avf-1+Bxvf(1/n-1)n1/map1/pae1/u+t0

      (5)

      式中：A=l_w
      B_c=(At_ct)/(K_TC_T)
      B_x=(At_ctZ^1/w)(/K_TC_TD^q)
      數(shù)控切削加工成本目標(biāo)函數(shù)數(shù)控切削加工成本為

      c= lw (c0+ c0tct+ct )+t0c0 vf T

      (6)

      式中：c₀——單位時(shí)間生產(chǎn)成本(元/min)c_0t——刀具成本(元/個(gè))
      將式(2)、(3)分別代入式(6)，可得數(shù)控車削成本目標(biāo)函數(shù)為

      Mc(X)=Evf-1+Fcvf(1/n-1)n1/map1/p+G

      (7)

      數(shù)控銑削成本目標(biāo)函數(shù)為

      Mc(X)=Evf-1+Fcvf(1/n-1)n1/map1/pae1/u+G

      (8)

      式中：E=c₀l_w
      F_c=l_w[c_t+c₀t_ct)/(K_TC_T)]
      F_x=[l_w(c_t+c₀t_ct)Z^1/w]/(K_TC_TD^q)
      G=c₀t₀
   2. 數(shù)控切削加工質(zhì)量目標(biāo)函數(shù)
      1. 數(shù)控切削加工尺寸精度目標(biāo)函數(shù)
         數(shù)控切削加工尺寸精度目標(biāo)函數(shù)為

         Mz(X)=d

         (9)

         式中：d——切削力作用下刀具或工件的變形量數(shù)控車削加工時(shí)：

         d=	5l3FH
         	103KEI

         數(shù)控銑削加工時(shí)：

         d=	l3FH
         	103·3KEI

         式中：F_H——徑向切削力(N)
         l——工件支撐或刀具懸臂長(zhǎng)度(mm)
         K——工件裝夾方法系數(shù)
         I——工件或刀具慣性矩(mm4)
         E——工件材料的彈性模量(GPa)
      2. 數(shù)控切削加工表面質(zhì)量目標(biāo)函數(shù)數(shù)控切削加工表面質(zhì)量目標(biāo)函數(shù)為：

         MR(X)=Ra

         (10)

2. 約束條件
   設(shè)計(jì)變量約束條件的一般形式為

   gi(X)≤0 (i=1，2，3，…)

   (11)

數(shù)控切削加工過程中的切削力、切削功率、機(jī)床主軸扭矩、刀具強(qiáng)度、刀具幾何參數(shù)、切屑的控制、機(jī)床主軸最大轉(zhuǎn)速、機(jī)床最大進(jìn)給速度以及加工余量等因素構(gòu)成了工藝參數(shù)優(yōu)化的約束條件。

3 基于主要目標(biāo)法的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

1. 主要目標(biāo)法多目標(biāo)函數(shù)的建立

設(shè)有m個(gè)優(yōu)化目標(biāo)：M₁(X)，M₂(X)，…，M_i(X)，…，M_m(X)，以第i個(gè)目標(biāo)M_i(X)為主要目標(biāo)，則多目標(biāo)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可表示為

且滿足約束條件：M₁(X)≤M₁0，…，M_i-1(X)≤M_i-10，M_i+1(X)≤M_i+10，…，M_m(X)≤M_m0；其中M₁0，…，M_i-10，M_i+10，…，M_m0為各次要目標(biāo)允許的最大值。

1. 在數(shù)控切削加工中，為了達(dá)到最優(yōu)加工質(zhì)量，工時(shí)和成本會(huì)顯著增加。從數(shù)控加工的經(jīng)濟(jì)性考慮，單純追求加工質(zhì)量最優(yōu)顯然并不合適，因此在以工時(shí)、成本、質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化中，一般將工時(shí)或成本作為主要目標(biāo)，而將質(zhì)量目標(biāo)轉(zhuǎn)化為約束條件。
2. 以加工工時(shí)為主要目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

對(duì)于以實(shí)現(xiàn)最高生產(chǎn)率為目的、以加工工時(shí)為主要目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)變量的向量表示為

1. 或 X=(n，v_f，a_p，a_e)^T
   目標(biāo)函數(shù)為 M(X)=M_t(X)且滿足約束條件：M_c(X)≤M_c0，M_Z(X)≤M_Z0，M_R(X)≤M_R0，g_i(X)≤0(i=1，2，3，…)；其中M_c0，M_Z0，M_R0分別為成本、尺寸精度、表面質(zhì)量等次要目標(biāo)允許的最大值。
2. 以加工成本為主要目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

對(duì)于要求實(shí)現(xiàn)加工成本最低、以加工成本為主要目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)變量的向量表示為

或

目標(biāo)函數(shù)為

且滿足約束條件：M_t(X)≤M_t0，M_Z(X)≤M_Z0，M_R(X)≤M_R0，g_i(X)≤0(iE1，2，3，…)；其中M_t0，M_Z0，M_R0分別為工時(shí)、尺寸精度、表面質(zhì)量等次要目標(biāo)允許的最大值。

4 基于線性加權(quán)和法的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

1. 線性加權(quán)和法多目標(biāo)函數(shù)的建立

設(shè)有m 個(gè)優(yōu)化目標(biāo)：M₁(X)，M₂(X)，…，M_i(X)，…，M_m(X)，根據(jù)線性加權(quán)和法，多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)的目標(biāo)函數(shù)可表示為

M(X)=	m	liMi(X)
	S
	i=1

式中l_i為加權(quán)系數(shù)，反映第i個(gè)優(yōu)化目標(biāo)M_i(X)在多目標(biāo)優(yōu)化中的重要程度。為在各分目標(biāo)之間進(jìn)行合理折衷，加權(quán)系數(shù)l_i可確定為

式中M^*為以第i個(gè)分目標(biāo)M_i(X)為目標(biāo)函數(shù)的單目標(biāo)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)值。則多目標(biāo)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為

M(X)= M1(X) + M2(X) +…+ Mi(X) M1* M2* Mi*

(12)

1. 式(12)反映了各單目標(biāo)函數(shù)值偏離其最優(yōu)值的程度以及各單目標(biāo)在多目標(biāo)優(yōu)化中的重要程度。
2. 數(shù)控切削加工多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

根據(jù)線性加權(quán)和法，對(duì)于以工時(shí)、成本、質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)控切削加工工藝參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)變量的向量表示為

或

目標(biāo)函數(shù)為

M(X)=	Mt(X)	+	Mc(X)	+	MZ(X)	+	MR(X)
	Mt*		Mc*		MZ*		MR*

且滿足約束條件：g_i(X)≤0(i=1，2，3，…)。式中M_t^*、M_c^*、M_Z^*、M_R^*分別為以工時(shí)、成本、尺寸精度、表面質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)時(shí)的單目標(biāo)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)值。

1. 以工時(shí)、成本為主要目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

在以最短加工工時(shí)和最小加工成本為控制目標(biāo)的數(shù)控切削加工中，工藝參數(shù)的優(yōu)化應(yīng)以加工成本和加工工時(shí)同時(shí)作為主要目標(biāo)，而以加工質(zhì)量作為次要目標(biāo)。因此在該多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中，設(shè)計(jì)變量的向量表示為

或

目標(biāo)函數(shù)為

M(X)=	Mt(X)	+	Mc(X)
	Mt*		Mc*

且滿足約束條件：M_Z(X)≤M_Z0，M_R(X)≤M_Z0，g_i(X)≤0(i=1，2，3，…)；式中M_t^*、M_c^*分別為以工時(shí)、成本為目標(biāo)函數(shù)時(shí)單目標(biāo)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)值；M_Z0、M_R0分別為尺寸精度、表面質(zhì)量等次要目標(biāo)允許的最大值。

5 優(yōu)化算法及計(jì)算實(shí)例

1. 優(yōu)化算法

由于數(shù)控切削加工的工藝參數(shù)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為非線性模型，因此本文采用網(wǎng)格直接尋優(yōu)的算法進(jìn)行求解。具體計(jì)算步驟見圖1。

優(yōu)化算例

圖1 網(wǎng)格法運(yùn)算流程圖

1. 數(shù)控車削加工優(yōu)化算例

在數(shù)控車床上加工材料為T10A的工件。加工技術(shù)要求：工件直徑D=100mm；切削行程l_w=150mm；加工余量d=1mm；表面粗糙度R_a=1.6µm；尺寸精度0.05mm。生產(chǎn)條件：加工機(jī)床：CK7815數(shù)控車床；刀具材料：硬質(zhì)合金；刀具參數(shù)：主偏角k_r=45°，前角g₀=20°，刀尖圓弧半徑r_e=0.8mm；刀具成本C_t=15元；輔助時(shí)間t₀=1min；換刀時(shí)間t_ct=0.5min；工時(shí)成本C₀=0.1元/min。工藝參數(shù)優(yōu)化結(jié)果見表1。

表1 數(shù)控車削優(yōu)化算例計(jì)算結(jié)果

優(yōu)化結(jié)果	以工時(shí)為 主要目標(biāo)	以成本為 主要目標(biāo)	工時(shí)、成本 多目標(biāo)
t(min)	1.92	2.47	2.24
c(元)	0.72	0.61	0.65
n(r/min)	824	542	573
vf(mm/min)	165	103	114.6
ap(mm)	1	1	1

1. 數(shù)控銑削加工優(yōu)化算例
   

   表2 數(shù)控銑削優(yōu)化算例計(jì)算結(jié)果

   優(yōu)化結(jié)果	以工時(shí)為 主要目標(biāo)	以成本為 主要目標(biāo)	工時(shí)、成本 多目標(biāo)
   t(min)	1.71	2.69	2.36
   c(元)	3.67	2.87	3.04
   N(r/min)	1790	788	1182
   vf(mm/min)	286.4	118.2	189.2
   ap(mm)	1	1	1
   aw(mm)	0.32	0.32	0.32

在數(shù)控銑床上進(jìn)行模具型腔曲面加工，工件材料為3Cr2W8V。加工技術(shù)要求：切削行程l_w=200mm；加工余量d=1mm；表面粗糙度R_a=3.2µm；尺寸精度0.10mm。生產(chǎn)條件：加工機(jī)床：XK5032A數(shù)控銑床；加工刀具：硬質(zhì)合金球頭銑刀(2刃)，銑刀直徑d=16mm；刀具成本C_t=150元；輔助時(shí)間t₀=1min；換刀時(shí)間t_ct=0.5min；工時(shí)成本C0=0.1元/min。工藝參數(shù)優(yōu)化結(jié)果見表2。

1. 優(yōu)化結(jié)果分析
   1. 以工時(shí)為主要目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，n、v_f較高，刀具磨損嚴(yán)重，因此加工成本較高；以成本為主要目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，刀具磨損較小，n、v_f較低，加工工時(shí)較多，生產(chǎn)率較低。
   2. 以工時(shí)、成本同為主要目標(biāo)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)，由于在工時(shí)、成本目標(biāo)之間進(jìn)行了合理折衷，因此優(yōu)化結(jié)果介于上述兩者之間。
   3. 在各目標(biāo)優(yōu)化過程中，為盡可能縮短加工工時(shí)、減少加工成本，a_p和a_w主要受到加工余量和表面質(zhì)量的約束。

6 結(jié)語(yǔ)

本文基于數(shù)控車削、數(shù)控銑削加工工藝參數(shù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)描述，建立了以工時(shí)、成本、質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)的工藝參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。采用離散變量網(wǎng)格直接尋優(yōu)算法，通過優(yōu)化算例，實(shí)現(xiàn)了工藝參數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化。