| 1．引言
六自由度關節(jié)式坐標測量機是一種新型的非笛卡爾式坐標測量機。它仿照人體關節(jié)結構，以角度基準取代長度基準，將六個桿件和一個測頭通過六個旋轉關節(jié)串聯(lián)連接，一端固定在機座上，另一端（測頭）可在空間自由運動，構成一個六自由度的封閉球形測量空間。與傳統(tǒng)的笛卡爾式三坐標測量機相比，它具有機械結構簡單，體積小，測量范圍大，靈活方便等優(yōu)點，主要應用于CAD／CAM中三維模型表面數(shù)字化和大型零部件幾何尺寸的現(xiàn)場檢測等領域［1，2］。
六自由度關節(jié)式坐標測量機在裝配過程中，由于角度光電編碼器的零位與關節(jié)結構的理論零位不重合而產生的角度偏差，稱為關節(jié)零位偏差。其特點是：各關節(jié)的零位偏差各不相同；由于裝配工藝誤差不可避免，關節(jié)零位偏差較大（約±3°）；對于每臺裝配好的關節(jié)式坐標測量機，各關節(jié)零位偏差值固定不變，屬于系統(tǒng)誤差。由于桿長的放大作用，關節(jié)零位偏差在末端測頭處產生很大的位姿誤差。因此，為了補償關節(jié)零位偏差，提高測量精度，對關節(jié)式坐標測量機進行標定是非常重要的。
2．數(shù)學模型
圖 六自由度關節(jié)式坐
標測量機結構模型六自由度關節(jié)式坐標測量機從機械結構上可以看成是串聯(lián)的開式運動鏈。其結構模型如圖所示（各坐標系的Y軸由“右手法則”確定）。
參見圖示，將測頭局部坐標系O7-X7Y7X7相對于基座參考坐標系O0-X0Y0Z0的位姿記為T07，這是一個4×4的齊次矩陣，可描述為
T07＝A01A12A23A34A45A56A67 �。�1）
式中，Ai-1i（i＝1，…，7）是桿件i相對于桿件i－1的齊次位姿變換矩陣。Denavit和Hartenberg在1995年提出了兩個相互連接且相對運動的構件之間相互關系的分析方法，并給出了相應的齊次變換矩陣［3］，即
 �。�2）
式中，θi是關節(jié)的轉角，這里是變量，稱為關節(jié)變量；φi是相鄰關節(jié)旋轉軸線的夾角，這里近似為直角；ai是相鄰關節(jié)軸線沿空間公垂線的距離，這里近似為0；di是相鄰桿件坐標原點沿Z軸之間的距離，這里稱為桿長。
對于多關節(jié)坐標測量機，測頭在空間的姿態(tài)并不重要，而測頭的空間位置坐標則是需要得到的。將式（1）、（2）合并后，測頭位置坐標方程為
P＝（R1R2R3R4R5R6）q7＋（R1R2R3R4R5）q6＋R1R2R3R4）q5
�。�R1R2R3）q4＋（R1R2）q3＋R1q2＋q1 （3）
式中包括三個坐標分量方程，都是關節(jié)變量的函數(shù)，即
P＝F（θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6） �。�4）
為了得到關節(jié)零位偏差與測頭位置誤差之間的關系，假設關節(jié)零位偏差足夠小，對式（4）求全微分，近似得到測頭位置誤差方程為［4］
 （5）
將式（5）用矩陣方式簡單描述，即
ΔP＝JδΔδ （6）
式中 ΔP＝（ΔPx ΔPy ΔPz）T
Δδ＝（Δθ1 Δθ2 Δθ3 Δθ4 Δθ5 Δθ6）T
由式（4）和式（6）即可得到描述關節(jié)零位偏差與測頭位置誤差之間關系的線性方程。
3．標定算法
為測定各關節(jié)零位偏差值，需要一系列已知標準位置坐標，這些標準位置坐標可以通過高精度的三坐標測量機測得。設有m個標準位置坐標，關節(jié)式坐標測量機的測頭分別觸測這些標準位置，由光電編碼器分別得到相應的關節(jié)轉角，將這些關節(jié)轉角分別代入方程式（4），計算出測頭的理論位置坐標，然后與標準坐標比對，得到m個測頭位置誤差。把這些數(shù)據(jù)代入式（6），可得到3×m個位置誤差方程，即
ΔQ＝GΔδ （7）
其中
式（7）中有6個未知量，只要3×m＞6，則可運用最小二乘法求解出關節(jié)零位偏差，即
Δδ＝（GTG）－1GTΔQ （8）
把計算出的關節(jié)零位偏差值作為零位偏差的修正量代入式（4），計算出新的測頭位置坐標，然后將新的位置誤差和新的系數(shù)矩陣代入式（7），再重復式（8）的計算。經過以上的反復迭代過程，直到測頭位置誤差小于設定值，最后獲得最優(yōu)解，即最接近實際的關節(jié)零位偏差值。
4．仿真驗算
為了進行計算機仿真驗算，首先設定六自由度關節(jié)式坐標測量機的結構參數(shù)（φi，ai，di），并假設關節(jié)零位偏差（Δθi），具體數(shù)值列于表1。
表1 六自由度關節(jié)式坐標測量機結構參數(shù)
桿件
序號 |
φi（°） |
ai（mm） |
di（mm） |
零位偏差
Δθi（°） |
| 1 |
�。�90．1 |
0．01 |
99．85 |
2．4 |
| 2 |
90．05 |
0．02 |
151．38 |
－2．05 |
| 3 |
90 |
�。�0．01 |
448．6 |
�。�1．5 |
| 4 |
－89．9 |
�。�0．03 |
101．1 |
2．2 |
| 5 |
－90．05 |
0．01 |
352．2 |
1．2 |
| 6 |
89．35 |
0．005 |
99．75 |
�。�1．8 |
| 7 |
0 |
0 |
150．25 |
0 |
| 在驗算中，對標定算法重復進行了三次仿真計算。每次隨機選取3組關節(jié)轉角組合，根據(jù)表1中的結構參數(shù)和關節(jié)零位偏差，按式（4）計算出3個標準（實際）的空間坐標矢量。同時，不考慮零位偏差，計算出3個理論坐標矢量，并得到相應的誤差矢量。根據(jù)式（5）、（6）、（7），可得到9個誤差方程。利用式（8）求解出6個關節(jié)零位偏差值。為了獲得更準確的數(shù)據(jù)，采用迭代算法，將計算出的關節(jié)零位偏差值代入式（4）修正理論模型，重復以上過程，直到空間位置誤差小于一設定值（這里設為0．3mm）。三次仿真計算的結果列于表2。
表2 仿真驗算結果 |
仿真
次數(shù) |
關節(jié)轉角組合
（θ1，…，θ6）
（°） |
標準坐
標矢量
（mm） |
位置
誤差
（mm） |
迭代1次 |
迭代2次 |
迭代3次 |
迭代4次 |
零位
誤差
（°） |
位置
誤差
（mm） |
零位
誤差
（°） |
位置
誤差
（mm） |
零位
誤差
（°） |
位置
誤差
（mm） |
零位
誤差
（°） |
位置
誤差
（mm） |
| 1 |
（-90，-90，0，90，
0，90） |
138．558
575．782
-283．282 |
39．968 |
2．406
-2．063
-1．432
2．177
1．776
-1．375 |
1．717 |
2．406
-2．063
-1．490
2．177
1．719
-1．776 |
1．483 |
2．406
-2．063
-1．490
2．177
1．203
-1．776 |
0．148 |
2．406
-2．063
-1．492
2．182
1．203
-1．781 |
0．146 |
（120，90，120，-20，
70，50） |
-652．092
645．842
202．687 |
30．043 |
1．201 |
|
0．955 |
|
0．206 |
|
0．206 |
（-90，0，0，90，
0，0） |
142．57
522．883
503，83 |
49．592 |
0．732 |
0．801 |
0．244 |
0．232 |
| 2 |
（-90，10，10，90，
10，10） |
61．557
434．09
594．691 |
49．319 |
2．521
-1．948
-1．432
2．464
1．146
-1．261 |
1．479 |
2．406
-2．063
-1．490
2．181
1．203
-1．781 |
0．212 |
|
|
|
|
（0，90，0，-90，
0，90） |
320．85
157．437
-251．305 |
23．654 |
1．155 |
|
0．230 |
< |
< |
|
|
（-120，140，20，60，
10，150） |
-148．998
-518．998
-237．442 |
39．30 |
2．176 |
0．082 |
|
|
| 3 |
（50，-80，50，40，
-60，40） |
-463．903
-760．076
176．659 |
73．57 |
2．349
-2．120
-1．432
2．292
1．146
-1．432 |
0．603 |
2．406
-2．063
-1．490
2．180
1.203
-1．781 |
0．068 |
|
|
|
|
（10，80，30，150，
30，140） |
186．165
160．292
290．97 |
26．475 |
0．894 |
|
0．069 |
< |
< |
|
|
（40，30，60，150，
90，-90） |
179．32
102．388
101．179 |
17．161 |
0．898 |
0．122 |
|
|
由仿真驗算結果可得出以下結論：
�。�1）較小的關節(jié)零位偏差會引起很大的測頭位置誤差，最大可達73．57mm；
�。�2）本文給出的標定算法是正確的，經標定得出的關節(jié)零位偏差值與設定的真值近似，最大誤差為0．02°；
�。�3）迭代算法是收斂的，一般不超過4次迭代；
�。�4）三次仿真計算所得結果相同，說明只要在測量空間任取三點，即可準確且唯一地標定出6個關節(jié)零位偏差。
5．結語
本文在Denavit-Hartenberg方法基礎上，建立了六自由度關節(jié)式坐標測量機的數(shù)學模型。從模型可以看出，測頭末端位置坐標與六個關節(jié)角度之間的關系是非線性的，這對于由已知空間坐標值來推算關節(jié)零位偏差是相當困難的。因此，我們運用全微分方法，求得了關節(jié)零位偏差與測頭末端位置誤差之間的線性關系，從而大大簡化了標定過程。在已知空間點坐標情況下，應用最小二乘法和有限次數(shù)的迭代運算，求出最優(yōu)的關節(jié)零位偏差值。最后，通過計算機仿真驗算，證明了該算法的正確性。該標定算法也完全適用于其它結構參數(shù)誤差的標定。該標定算法對提高六自由度關節(jié)式坐標測量機的測量精度具有重要意義。
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