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2　齒輪非線性振動(dòng)研究熱點(diǎn)及存在問(wèn)題

2.1　幾何與力學(xué)
　　40年代Wildhaber和Baxter對(duì)曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪的發(fā)展做出了卓越的貢獻(xiàn)。自那時(shí)以來(lái)，Gleason公司的機(jī)床調(diào)整卡、齒面接觸分析及后來(lái)由Krenzer提出的加載接觸分析、邊緣接觸分析以及有限元分析等內(nèi)容引起了各國(guó)學(xué)者的關(guān)心和探索。這方面的內(nèi)容成為在曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪幾何和力學(xué)研究的主要內(nèi)容。在對(duì)Gleason技術(shù)研究的同時(shí)，推動(dòng)了齒輪嚙合理論的發(fā)展。Litvin脫離了Gleason的計(jì)算原理提出了局部綜合法。吳序堂和王小椿從另一途徑也得到一個(gè)類(lèi)似的方法。對(duì)曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪設(shè)計(jì)和加工理論作出最重要貢獻(xiàn)的是我國(guó)學(xué)者王小椿的三階接觸理論。在曲齒錐齒輪齒形設(shè)計(jì)方面，梁桂明提出了“非零變位”的思想。它突破了傳統(tǒng)設(shè)計(jì)在選取變位系數(shù)時(shí)只能進(jìn)行高度變位的限制，可按照一定的嚙合性能優(yōu)選變位系數(shù)。這就給曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪變位系數(shù)的選取提供了較為自由的空間。譬如，為了降低振動(dòng)和噪聲可選用負(fù)變位，以增加輪齒的柔性和重合度。在力學(xué)方面，鄭昌啟和Litvin分別給出了一個(gè)加載接觸分析方法。另外，還必須提到的是Litvin從幾何學(xué)上提出了一個(gè)預(yù)先的拋物線誤差函數(shù)去吸收振動(dòng)的概念，并將其與局部綜合法總結(jié)成一個(gè)方法學(xué)。

2.2　動(dòng)力學(xué)
　　在曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方面，特別是在曲齒錐齒輪行波共振方面已有較深入的研究，但關(guān)于曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方面的文獻(xiàn)很少，方宗德在1994年給出了一個(gè)計(jì)算準(zhǔn)雙曲面齒輪傳動(dòng)動(dòng)載荷的方法。在直齒輪和斜齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方面，文獻(xiàn)很多，而且近年來(lái)這方面一直是研究熱點(diǎn)。雖然曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪與圓柱齒輪差別很大，但從方法學(xué)上來(lái)說(shuō)圓柱齒輪動(dòng)力學(xué)仍有很大的借鑒意義，因此，我們主要對(duì)直齒輪和斜齒輪進(jìn)行評(píng)述。
　　(1)含有時(shí)變剛度和傳動(dòng)誤差的振動(dòng)方程
　　涉及齒輪載荷的研究可追溯到2個(gè)世紀(jì)前，但首次對(duì)齒輪動(dòng)力學(xué)進(jìn)行系統(tǒng)研究是以20年代Ross在美國(guó)齒輪制造期刊上發(fā)表的“高速齒輪”一文為標(biāo)志的。第一個(gè)齒輪動(dòng)力學(xué)振動(dòng)模型是由Tuplin在1950年提出的。隨后相繼出現(xiàn)了若干振動(dòng)模型，在這些模型中考慮了齒形誤差、時(shí)變剛度等參數(shù)激勵(lì)。1959年Attia給出了一組直齒輪的動(dòng)載荷實(shí)驗(yàn)結(jié)果。60年代后，在齒輪動(dòng)力學(xué)理論和實(shí)驗(yàn)上取得了大批成果，理論研究主要集中在建模、激勵(lì)項(xiàng)和求解技巧等方面。
　　(2)具有間隙的齒輪動(dòng)力學(xué)
　　直齒輪在剛性支承和忽略輸入輸出慣量的假設(shè)下，可以精確簡(jiǎn)化為單自由度振動(dòng)方程。這個(gè)振動(dòng)方程包含了時(shí)變剛度、傳動(dòng)誤差和間隙函數(shù)。間隙的存在使得振動(dòng)現(xiàn)象更為復(fù)雜，并產(chǎn)生極大的噪聲和動(dòng)載荷，特別是輕載噪聲。Comparin和Singh在1989年提出了一個(gè)單自由度常剛度(等效剛度)具有間隙振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，并用諧波平衡法求解。雖然這個(gè)方程只取了諧波的一項(xiàng)，但其解可區(qū)分出單邊沖擊、雙邊沖擊和無(wú)沖擊的情況，并對(duì)微分方程數(shù)值解的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，指出了頻響曲線在給定頻率時(shí)響應(yīng)可能的多值性。Kahraman和Singh在1991年求解了一個(gè)具有間隙且包含傳動(dòng)誤差參數(shù)激勵(lì)的振動(dòng)方程。雖然這個(gè)模型仍是常剛度的單自由度模型，他們用諧波平衡法求解，發(fā)現(xiàn)了躍遷頻率、亞諧波共振及混沌現(xiàn)象。這些現(xiàn)象的出現(xiàn)與平均載荷、交變載荷、阻尼及間隙有關(guān)，并且指出，各種沖擊區(qū)與平均載荷有關(guān)。他們還給出了一個(gè)完整的數(shù)值積分初值圖，解決了數(shù)值積分求解方法上的困難。同年，Kahraman和Singh建立了一個(gè)同時(shí)考慮齒輪間隙和軸承間隙的三自由度方程，他們進(jìn)一步將上述的單自由度模型和三自由度模型中的常剛度改為時(shí)變剛度，并用多尺度法求解。1995～1997年，他們又將時(shí)變剛度、間隙函數(shù)、傳動(dòng)誤差和外激振力展成為多項(xiàng)諧波，用諧波平衡法求解。Padmanabhan和Singh1995年基于打靶法提出了一個(gè)求解非線性微分方程的參數(shù)連續(xù)法，該方法將微分方程周期問(wèn)題的求解用打靶法變?yōu)榉蔷�性特征值問(wèn)題的求解，然后用連續(xù)法求解這組參數(shù)的非線性方程。這是一個(gè)很好的方法，它可以用于少自由度的情況。他們后來(lái)用這一方法分別求解了具有間隙的離合器問(wèn)題，并發(fā)現(xiàn)了更多的非線性現(xiàn)象如分岔、亞諧波、準(zhǔn)周期解和混沌解等。這種方法在少自由度的情況下是比較有效的，對(duì)于多自由度的情況尚需進(jìn)一步探討。Kahraman和Blankenship1997年給出了一個(gè)具有間隙、周期時(shí)變參數(shù)和外部激勵(lì)聯(lián)合作用的非線性系統(tǒng)振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，證實(shí)了躍遷現(xiàn)象和亞諧波共振和混沌現(xiàn)象的存在，并給出了一個(gè)形成奇怪吸引因子的poincare圖。
　　以上是具有間隙存在的非線性方程求解方法發(fā)展的主線。另外，其他學(xué)者也作了許多很好的工作，如Amabili和Rivota1997年提出了一個(gè)低接觸比且具有時(shí)變阻尼的單自由度振動(dòng)模型。Cai在1995年通過(guò)引入新的剛度函數(shù)建立了一個(gè)單自由度斜齒輪振動(dòng)模型。許多力學(xué)和數(shù)學(xué)工作者也對(duì)間隙非線性問(wèn)題進(jìn)行了研究，如Lau和Zhang用增量諧波平衡法，霍麟春和李驪用三變量迭代法求解了間隙振動(dòng)問(wèn)題。這些方法都是很巧妙，但直接用于齒輪系統(tǒng)還有很多困難。
　　齒輪修形是降低振動(dòng)的一個(gè)最重要的手段。方宗德1992年提出了斜齒輪三維修形的優(yōu)化方法，Lin在1994年提出了一個(gè)線性和拋物線齒廓修形方法，Yoon和Ran在1996年提出了一個(gè)三次樣條修形方法。
　　(3)多自由度振動(dòng)模型
　　齒輪動(dòng)力學(xué)的模型建立可分為2類(lèi)：一類(lèi)是上節(jié)敘述的單自由度和少自由度模型，這種模型求解方法可以比較精細(xì)，以便了解非線性振動(dòng)的更多物理現(xiàn)象。另一類(lèi)是多自由度模型，這種模型通常忽略了間隙的存在，且求解方法大都為近似的線性化方法，以期了解總體的振動(dòng)特性。有關(guān)斜齒輪多自由度振動(dòng)模型，最具代表性的是Blankenship和Singh(1995)及Velex和Maattar(1996)建立的14個(gè)自由度的非線性模型。在Blankenship和Singh的模型中，用了3個(gè)位移坐標(biāo)和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)來(lái)控制齒輪位置，并用同樣6個(gè)微振動(dòng)坐標(biāo)來(lái)控制相應(yīng)方向的振動(dòng)，總的振動(dòng)方程較為復(fù)雜。在Velex和Maattar的模型中，考慮了齒形偏差，安裝誤差和輪齒變形對(duì)振動(dòng)的影響。方程建立的思路很清晰，想法也很好，是一個(gè)很好的斜齒輪動(dòng)力學(xué)模型。多自由度非線性問(wèn)題的求解主要是數(shù)值積分法和使方程線性化后使用線性振動(dòng)的一些方法。數(shù)值積分法是一種廣泛被采用的求解方法，它的主要困難在于全部穩(wěn)態(tài)解初值的選取，對(duì)于一個(gè)大自由度系統(tǒng)，獲得一個(gè)較大范圍的初值圖的工作量是巨大的。另一方面還有解的穩(wěn)定性、多值性及在求解系統(tǒng)周期解時(shí)，在接近轉(zhuǎn)折點(diǎn)或分岔點(diǎn)時(shí)收斂速度會(huì)非常低等問(wèn)題。近似的線性化方法可以使得求解非常方便，但其代價(jià)是丟失了許多有價(jià)值的解。

3　研究方向及建議

3.1　曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪非線性振動(dòng)的研究方向
　　(1)單自由度方程的建立
　　只考慮扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，建立曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪的單自由度方程。在此方程中還考慮間隙和傳動(dòng)誤差的影響。此時(shí)簡(jiǎn)化后的等效剛度、等效阻尼及等效外力均為時(shí)變的。單自由度的方程雖然比較簡(jiǎn)單，但很容易得出各個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響水平。
　　(2)多自由度微分方程的建立
　　建立包括間隙、傳動(dòng)誤差和時(shí)變嚙合剛度的多自由度微分方程。這個(gè)方程中還包括支承及輸入輸出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以期全面研究結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響。
　　(3)統(tǒng)一方程的建立
　　建立一個(gè)幾何、力學(xué)和動(dòng)力學(xué)統(tǒng)一的方程。它架起了力學(xué)和幾何研究相聯(lián)系的橋梁。該方程中至少應(yīng)包含齒形幾何誤差、輪齒變形及安裝誤差等，以期使齒輪系統(tǒng)的承載能力及振動(dòng)應(yīng)力水平等指標(biāo)達(dá)到最佳。
　　(4)非線性振動(dòng)微分方程解法的研究
　　由于曲齒錐齒輪和準(zhǔn)雙曲面齒輪幾何和力學(xué)上的復(fù)雜性，求解由此建立的微分方程十分復(fù)雜。目前求解單自由度微分方程主要有諧波平衡法和連續(xù)參數(shù)法等。求解多自由度微分方程主要有線性化法、連續(xù)參數(shù)法等。這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，因此需要進(jìn)一步研究更有效的非線性方程的解法。