1 前言 并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度大、承載能力強(qiáng)、位置精度高、響應(yīng)快等許多串聯(lián)機(jī)構(gòu)所沒有的優(yōu)點(diǎn)其應(yīng)用前景十分廣闊。近幾年來引起了機(jī)床領(lǐng)域研究學(xué)者及產(chǎn)業(yè)界的廣泛重視。然而這類機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)求解問題比較復(fù)雜．是機(jī)構(gòu)學(xué)研究的難點(diǎn)之一。另外，在對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析中，一般都是將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)作為剛性體進(jìn)行處理，這樣只能進(jìn)行力的分析，無法分析力作用下的位移。本文介紹一種新的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度解析方法即將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)作為柔性體處理可直接求解系統(tǒng)的剛度，具有獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)。下面以3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例進(jìn)行說明。我們把這種機(jī)構(gòu)作為獨(dú)立的并聯(lián)機(jī)構(gòu)用于混聯(lián)式數(shù)控機(jī)床。 在3-RPS機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)過程中，贅個(gè)機(jī)構(gòu)的剛度取決于組成機(jī)構(gòu)的各構(gòu)件要素(桿件和關(guān)節(jié))的剛度，如何合理設(shè)計(jì)各桿件的結(jié)構(gòu)參數(shù)使機(jī)構(gòu)在各種位姿及外力作用下剛度均衡是設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。
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圖1 3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型
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2 機(jī)構(gòu)組成 3-RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)部件由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)及連接兩平臺(tái)的二個(gè)分支組成，如圖1 所示，其中三個(gè)分支與定平臺(tái)相連的運(yùn)動(dòng)副為轉(zhuǎn)動(dòng)副(R) ，與動(dòng)平臺(tái)相連的運(yùn)動(dòng)副為球面副(S) , R和S兩個(gè)運(yùn)動(dòng)副之間為移動(dòng)副(P)。由機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可知．該機(jī)構(gòu)具有沿Z軸的移動(dòng)和繞X軸與Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)(等效的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸)三個(gè)自由度當(dāng)機(jī)構(gòu)的移動(dòng)副作長(zhǎng)度變化時(shí)，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位姿隨之變化。 3 關(guān)節(jié)的邊界元法合成邊界元法是把對(duì)象的控制微分方程式變換成邊界上的積分方程式，然后把該積分方程式離散，進(jìn)行求解。由于邊界元法只對(duì)對(duì)象的邊界進(jìn)行處理，因此，可以把考慮問題的維數(shù)降低一維。對(duì)于桿類零件，由于領(lǐng)域?yàn)橐痪S領(lǐng)域，故其邊界就是點(diǎn)，與有限元法相比邊界單元的數(shù)目和節(jié)點(diǎn)的數(shù)目少，數(shù)據(jù)輸入的準(zhǔn)備工作簡(jiǎn)單，需要的計(jì)算機(jī)容量小，計(jì)算速度快。
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圖2 子結(jié)溝坐標(biāo)示意圖
| 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)是桿系機(jī)構(gòu)各桿件通過各種關(guān)節(jié)相連接，可作為桿類機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行性能分析。單個(gè)桿是該系統(tǒng)的一個(gè)子結(jié)構(gòu)，利用邊界元法可得到每個(gè)子結(jié)構(gòu)的邊界方程式，然后找出相聯(lián)接的子結(jié)構(gòu)間的邊界關(guān)系，即結(jié)合條件式。最后利用結(jié)合條件式對(duì)各子結(jié)構(gòu)的邊界方程式聯(lián)立求解，得出整個(gè)系統(tǒng)的邊界力和位移，繼而求得系統(tǒng)的靜剛度。 如圖2所示的兩個(gè)子結(jié)構(gòu)合成求解的過程如下。 子結(jié)構(gòu)的方程式
| { |
Fa |
} |
=[K1] |
{ |
Xa |
} |
+{P1} |
| Fb |
Xb | |
(1) |
| { |
Fc |
} |
=[K2] |
{ |
Xc |
} |
+{P2} |
| Fd |
Xd | |
(2) | 式中：K1、K2分別為子結(jié)構(gòu)1和2的剛性系數(shù)矩陣(包括拉壓、彎曲及扭轉(zhuǎn))，取決于各子結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)度、截面特牲等結(jié)構(gòu)參數(shù)及材料特性參數(shù)；P1、P2分別為作用于子結(jié)構(gòu)上的外力的力矢量；Fa、Fb、Fc、Fd和Xa、Xb、Xc、Xd分別為兩個(gè)子結(jié)構(gòu)在邊界點(diǎn)處的力矢最和位移矢量它們分別包括六個(gè)坐標(biāo)方向的力、力矩或位移、轉(zhuǎn)角。例如Fa={Fa1 Fa2 Fa3 Fa4 Fa5 Fa6}T 結(jié)合條件式 當(dāng)兩個(gè)子結(jié)構(gòu)剛性聯(lián)接時(shí)，聯(lián)接點(diǎn)處的力大小相等，方向相反，而且位移相等，故結(jié)合條件式為： 位移結(jié)合條件：
| [0 -IC I 0]{Xa Xb Xc Xd}T=0 |
(3) | 力結(jié)合條件：
| [0 -IC I 0]{Fa Fb Fc Fd}T=0 |
(4) | 式中：I表示單位矩陣；C表示坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。當(dāng)子結(jié)構(gòu)相互之間采用關(guān)節(jié)聯(lián)接時(shí)，繞其關(guān)節(jié)軸的自由度不受約束即繞關(guān)節(jié)軸的力矩為零，位移為剛體運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致子結(jié)構(gòu)邊界方程在聯(lián)立求解時(shí)無解，因此不能在結(jié)合條件式中包含相應(yīng)的力矩和位移。由于繞關(guān)節(jié)軸的力矩為已知量，故子結(jié)構(gòu)方程式中的該元素可作為邊界條件。如圖2 所示，兩子結(jié)構(gòu)在聯(lián)接處繞X1軸轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)合條件式如下：
| [0 -IC I 0]{Xa Xb Xc Xd}T=0 |
(5) |
| [0 -IC I 0]{Fa Fb Fc Fd}T=0 |
(6) | 式中：C為與非關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)方向相關(guān)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。在關(guān)節(jié)方向的分童中，對(duì)應(yīng)的力矩為零位移為未知量。 合成后系統(tǒng)的邊界方程 將式(5)、(6)代人式(1)、(2)中得到合成后的邊界方程式為
| { |
Fa |
} |
=[K] |
{ |
Xa |
} |
+{P} |
| Fd |
Xd | |
(7) | 式中：Xa、Fa為包含關(guān)節(jié)方向分量的桿1的邊界方程，[K]為合成后整個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛性系數(shù)矩陣。 將所有已知的邊界條件代人式(7)中求解，即可解出系統(tǒng)中未知的邊界條件，從而獲得系統(tǒng)的剛度。
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圖3 3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)力學(xué)模型
| 4 3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的邊界元法解析圖3所示為3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度分析的邊界元模型，O-XYZ為建立在定平臺(tái)上的總體坐標(biāo)系，oi-xiyizi為建立在各子結(jié)構(gòu)上的局部坐標(biāo)系。F為作用在動(dòng)平臺(tái)上的外力系(可為任意方向的力或力矩)。 由各分支機(jī)構(gòu)中各桿件的長(zhǎng)度、截面特性等結(jié)構(gòu)參數(shù)獲得子結(jié)構(gòu)方程式(1)中的剛性系數(shù)矩陣[K]；由各桿件局部坐標(biāo)系相對(duì)于總體坐標(biāo)系的姿勢(shì)獲得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣C；將已知的邊界條件值代氣式(7)求解出未知邊界條件。至此，獲得了在外力系F的作用下整個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的變形、即系統(tǒng)的靜剛度。 要優(yōu)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)提高系統(tǒng)的剛度，就必須合理設(shè)計(jì)系統(tǒng)中各子結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，使系統(tǒng)的整體剛度最大。將整個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的邊界條件通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換為單個(gè)桿件的邊界條件，再次利用上面的解析過程，得出組成并聯(lián)機(jī)構(gòu)所有桿件的受力狀態(tài)與力作用下的變形，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。 如圖3所示，3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)位姿矩陣為T，在Om點(diǎn)處作用力分別為Fx=1000N、Fy=1000N時(shí)計(jì)算各桿的受力狀況及系統(tǒng)剛度，如下表所示。
各分支的受力及系統(tǒng)剛度計(jì)算結(jié)果表
作用力(N) (相對(duì)于O-XYZ) 各分支承受的負(fù)載(相對(duì)于各分支的局部坐標(biāo)系oi-xiyizi)(N) 系統(tǒng)剛度(N/µm)
A-a分支 B-b分支 C-c分支
| Fx=1000 |
Fz=-1515.5 |
Fz=757.76 |
Fz=757.76 |
112.8 |
| Fy=1000 |
Fz=370.5 |
Fz=370.5 |
Fz=370.5 |
942.4 |
| 注：由于在不考慮摩擦和桿件重力時(shí)，所求解出的各分支在其它方向的力為零，故只給出Fz |
| R= |
[ |
1 |
0 |
0 |
] |
為動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系統(tǒng)在定平臺(tái)坐標(biāo)系統(tǒng)的方向余弦矩陣，即姿勢(shì)； |
| 0 |
1 |
0 |
| 0 |
0 |
1 | P={Px Py Pz}T為動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)原點(diǎn)在定平臺(tái)坐標(biāo)系的位置。 5 結(jié)束語(yǔ)本文將混聯(lián)機(jī)床中的3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為桿類機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，將組成機(jī)構(gòu)的各桿件作為柔性休，利用邊界法建立了該系統(tǒng)的靜力學(xué)模型。并在給定的位姿與作用力下，求解了系統(tǒng)的變形與剛度，計(jì)算結(jié)果表明，該機(jī)構(gòu)受力合理。將本文所述方法與機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解結(jié)合，可求解動(dòng)平臺(tái)在任意位姿下的系統(tǒng)剛度．并能仿真分析系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中的力的變化。 |
